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title: 112學年度_彰化高中_第一次教甄_填充題05
tags: [理想氣體方程式]

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# 112學年度_彰化高中_第一次教甄_填充題05

**如圖所示，一固定在地面的直立圓筒，其內壁光滑，內置一截面積為 $A$ 的活塞。起始時，活塞懸掛在一力常數 $k$ 的彈簧下端，活塞下方的空氣柱高度為 $L$，筒內氣體溫度為 $T_0$，其壓力等於筒外的大氣壓力 $P$。現將筒內的氣體加熱，使其體積緩緩地增大為原來的 $2$ 倍，活塞將上升。若筒內的氣體可視為理想氣體，筒內氣體的最後溫度 $T_1$，試問：$T_1/T_0$ 為何？** 


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<img src="https://hackmd.io/_uploads/S1_VXQnBh.png" width="150">
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**應用概念：理想氣體方程式**

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${\color{red}{詳解：}}$

當氣體溫度為 $T_0$ 時，內部壓力等於大氣壓力，因此，活塞所受合力可得到

\begin{aligned}
F_S=mg\implies k\Delta x=mg\\
\
\end{aligned}

其中 $\Delta x$ 為此時彈簧伸長量、$m$ 為活塞質量。此外，內部氣體之方程式為

\begin{equation}
PV=nRT \implies PAL=nRT_0  \tag{1} \\
\
\end{equation}

當氣體溫度為 $T_1$ 時，活塞所受合力為
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<img src="https://hackmd.io/_uploads/BkjvamnB3.png" width="200">
</center>
<br>

\begin{aligned}
P'A=PA+k(L-\Delta x)+mg \implies P'A=PA+kL-k\Delta x+mg\\
\
\end{aligned}

其中 $P'$ 為此時氣體壓力，且 $k\Delta x=mg$，故
\begin{aligned}
P'A=PA+kL-k\Delta x+mg &\implies P'A=PA+kL \\
&\implies P'=P+\frac{kL}{A}\\
\
\end{aligned}

此時氣體之方程式為
\begin{equation}
P'V=nRT_1 \implies P'A(2L)=nRT_1 \tag{2} \\
\
\end{equation}

根據題目所求為
\begin{aligned}
\frac{(2)}{(1)} \implies \frac{T_1}{T_0}=\frac{2P'}{P}=\frac{2(P+\frac{kL}{A})}{P}={\color{red}{2(1+\frac{kL}{PA})}}\\
\
\end{aligned}

@Hikari209518  
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