# 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_多選題03
**如圖所示，在水平地面上放著 A、B 兩個物體，質量分別 $M、m$，且 $M＞m$，它們與地面的
動摩擦係數分別為 $μ_A、μ_B$，用一細線連接A、B，細線與水平方向成 $θ$ 角，在B物上加一水
平拉力 $F$，使兩物體作直線運動，則下列敘述哪些正確？
A) 若 $μ_A＝μ_B$，$θ$ 越大，$F$ 越小
B) 若 $μ_A＝μ_B$，$θ$ 越大，$F$ 越大
C) 若 $μ_A＜μ_B$，$θ$ 越小，$F$ 越大
D) 若 $μ_A＞μ_B$，$θ$ 越大，$F$ 越大
E) 若 $μ_A＞μ_B$，$θ$ 越小，$F$ 越大。**

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/H1PBL8Urn.png" width="400">
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**應用觀念：牛頓力學**
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${\color{red}{答案：C.D}}$

${\color{red}{詳解：}}$若物體等速移動，則合力為零，合力矩亦為零。

以B為受力物，受力圖如下

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/r1_wA9DB3.png" width="400">
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討論 $x$ 方向合力為零，則
\begin{aligned}
\Sigma F_x=0 &\implies F=f_B+T\cos{\theta}\\
&\implies F=N_B\mu_B+T\cos{\theta}
\end{aligned}

而 $y$ 方向合力為零，則
\begin{aligned}
\Sigma F_y=0 &\implies m_Bg=N_B+T\sin{\theta}\\
& \implies N_B=m_Bg-T\sin{\theta}
\end{aligned}

代入 $F=N_B\mu_B+T\cos{\theta}F$ 式子中，得到
\begin{aligned}
F=N_B\mu_B+T\cos{\theta} &\implies F=(m_Bg-T\sin{\theta})\mu_B+T\cos{\theta}
\end{aligned}

同理，以A為受力物進行分析：
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<img src="https://hackmd.io/_uploads/H1KKRcwH3.png" width="400">
</center>
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討論 $x$ 方向合力為零，則
\begin{aligned}
\Sigma F_x=0 &\implies T\cos{\theta}=f_A\\
&\implies T\cos{\theta}=N_A\mu_A
\end{aligned}

而 $y$ 方向合力為零，則
\begin{aligned}
\Sigma F_y=0 &\implies N_A=m_Ag+T\sin{\theta}
\end{aligned}
代入 $T\cos{\theta}=N_A\mu_A$ 式子中，得到
\begin{aligned}
T\cos{\theta}=N_A\mu_A=(m_Ag+T\sin{\theta})\mu_A
\end{aligned}
代入 $F=(m_Bg-T\sin{\theta})\mu_B+T\cos{\theta}$ 式子中，得到
\begin{aligned}
F&=(m_Bg-T\sin{\theta})\mu_B+T\cos{\theta}\\
&=(m_Bg-T\sin{\theta})\mu_B+(m_Ag+T\sin{\theta})\mu_A\\
&=(m_A\mu_A+m_B\mu_B)g+(\mu_A-\mu_B)T\sin{\theta}
\end{aligned}

這裡要注意！，上式中無法直接利用 $\theta$ 值比較 $F$ 值，因為式子中還有 $T$ ，要先將 $T$ 代換成 $\theta$ 關係式，即
\begin{aligned}
T\cos{\theta}=(m_Ag+T\sin{\theta})\mu_A
\implies T={m_Ag \over {\cos{\theta} \over \mu_A}-\sin{\theta}}={m_Ag \mu_A \over \cos{\theta}-\mu_A\sin{\theta}}
\end{aligned}

代入 $F$ 中
\begin{aligned}
F&=(m_A\mu_A+m_B\mu_B)g+(\mu_A-\mu_B)T\sin{\theta}\\
&=(m_A\mu_A+m_B\mu_B)g+(\mu_A-\mu_B){m_Ag \mu_A \over \cos{\theta}-\mu_A\sin{\theta}}\sin{\theta}\\
&=(m_A\mu_A+m_B\mu_B)g+(\mu_A-\mu_B){m_Ag \mu_A \over \cot{\theta}-\mu_A}\\
\end{aligned}

---
選項(A)：若 $μ_A＝μ_B$，$θ$ 越大，$F$ 越小　（Ｘ）
選項(B)：若 $μ_A＝μ_B$，$θ$ 越大，$F$ 越大　（Ｘ）

若 $μ_A＝μ_B$，則 $μ_A-μ_B=0$，得到
\begin{aligned}
F&=(m_A\mu_A+m_B\mu_B)g+(\mu_A-\mu_B){m_Ag \mu_A \over \cot{\theta}-\mu_A}\\
&=(m_A\mu_A+m_B\mu_B)g=定值\
\end{aligned}

---
選項(C.)：若 $μ_A＜μ_B$，$θ$ 越小，$F$ 越大（Ｏ）

若 $μ_A<μ_B$，則 $μ_A-μ_B<0$，得到
\begin{aligned}
F&=(m_A\mu_A+m_B\mu_B)g+(\mu_A-\mu_B){m_Ag \mu_A \over \cot{\theta}-\mu_A}\\
\end{aligned}

當 $\theta$ 越小，則
\begin{aligned}
\cot{\theta} \to \infty \implies {m_Ag \mu_A \over \cot{\theta}-\mu_A} \to 0
\end{aligned}

則 $F$ 越大。

---
選項(D)：若 $μ_A＞μ_B$，$θ$ 越大，$F$ 越大（Ｏ）
選項(E)：若 $μ_A＞μ_B$，$θ$ 越小，$F$ 越大（Ｘ）

若 $μ_A>μ_B$，則 $μ_A-μ_B>0$，得到
\begin{aligned}
F&=(m_A\mu_A+m_B\mu_B)g+(\mu_A-\mu_B){m_Ag \mu_A \over \cot{\theta}-\mu_A}\\
\end{aligned}

當 $\theta$ 越小，則
\begin{aligned}
\cot{\theta} \to \infty \implies {m_Ag \mu_A \over \cot{\theta}-\mu_A} \to 0
\end{aligned}

則 $F$ 越小。

反之，當 $\theta$ 越大，則
\begin{aligned}
\cot{\theta} \to 0 \implies {m_Ag \mu_A \over \cot{\theta}-\mu_A} \to \infty
\end{aligned}

則 $F$ 越大。

注意：
此題有些許瑕疵，理論上 $\cot{\theta}$ 不能夠小於 $\mu_A$。如果 $\theta$ 越大，則 $\cot{\theta} \to\mu_A$ ， $F \to \infty$。那 $\theta$ 太大，使得 $\cot{\theta} < \mu_A$ 呢？代表 $\frac{m_Ag \mu_A}{\cot{\theta}-\mu_A} \to -\infty$，也就是說一開始狀態為 $\cot{\theta} < \mu_A$，不管如何施力，等速狀態皆無法成立。所以，此題是建立在往左的 $F$ 「可以」讓系統等速往左的情況下，當 $\theta$ 越大，則 $F$ 越大。

@Hikari209518
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