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title: 112學年度_彰化高中_第一次教甄_填充題11
tags: [理想氣體方程式]

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# 112學年度_彰化高中_第一次教甄_填充題11

**兩端封閉的細玻璃管 ABCDEF 鉛直放置，AB 段和 CD 段裝有空氣，BC 段和DE 段盛有水銀，EF 段內是真空，如圖所示，各段長度相同。已知管內最低點A 處壓力為 $p$，在空氣溫度不變的情況下，將管子小心地倒過頭來，使 F 點變成在最下面，試問：F 點處壓力大小為何？** 



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<img src="https://hackmd.io/_uploads/r1gbJnO6rn.png" width="50">
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**應用概念：理想氣體方程式**

<br>

${\color{red}{詳解：}}$

假設總管長為 $5\ell$，一開始每段長度為 $\ell$。且利用題目條件 $P_{AB}=p$ ，可得與水銀壓力之關係

\begin{equation}
\begin{cases}
P_{AB}=2\rho g \ell=p\\
P_{CD}=\rho g\ell={p \over 2}
\end{cases}\\
\
\end{equation}

翻轉後，因為原EF段為真空，故將會重疊$(P_F=P_E)$，呈現如下圖之狀態

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/Bk_wR_ar2.png" width="50">
</center>
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其中水銀段(BC、DE)長度仍保持 $\ell$，其餘部分須利用理想氣體方程式，AB、CD兩段分子數和溫度固定，變化前後 $PV=$ 定值，故得到

\begin{equation}
\begin{cases}
P'_{AB}AL_{AB}=P_{AB}A\ell\\
P'_{CD}AL_{CD}=P_{CD}A\ell
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
P'_{AB}L_{AB}=p\ell\\
P'_{CD}L_{CD}=\frac{p\ell}{2}
\end{cases}\tag{1}\\
\end{equation}

令 $P'_{CD}=x，L_{CD}=y$，並將以下關係式代入$\mathrm{(1)}$

\begin{equation}
\begin{cases}
P_{AB}'=P_{CD}'-\rho g\ell=P_{CD}'-{p \over 2}=x-{p \over 2}\\
L_{AB}=3\ell-L_{CD}=3\ell-y
\end{cases}
\end{equation}

得到

\begin{equation}
\begin{cases}
P'_{AB}L_{AB}=p\ell\\
P'_{CD}L_{CD}=\frac{p\ell}{2}
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
(x-\frac{p}{2})(3\ell-y)=p\ell  \\
xy=\frac{p\ell}{2} 
\end{cases}
\end{equation}

解聯立方程式，得到
\begin{equation}
x=\frac{3+\sqrt6}{6}p
\end{equation}

則 $P_F(=P_E)$ 為
\begin{equation}
P_F=P_{CD}'+\rho g\ell=\frac{3+\sqrt6}{6}p +{1 \over 2}p={\color{red}{\frac{6+\sqrt6}{6}p}}\\
\
\end{equation}

@Hikari209518  
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