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title: 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題11
tags: [質心位置, 靜力平衡]

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# 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題11
**兩個可視為質點的小球 a 和 b，用質量可忽略的剛性細桿相連，放置在一個光滑的半球面內，如圖所示．己知小球 a 和 b 的質量比為 $4：3$，細桿長度是球面半徑的$\sqrt 2$ 倍．兩球處於平衡狀態時，細桿與水平面的夾角 $θ$ 為多少？**
**（令 $\sin{37^\circ}=0.6$）**

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/rJs1qSmr2.png" width="350">
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**應用觀念：**
1. 靜力平衡：三力平衡
2. 質心位置

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${\color{red}{詳解：}}$

以「A+B+桿」為系統，所受外力圖為

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/S18gsBXrh.png" width="350">
</center>

其中，$\overrightarrow{aO}$與$\overrightarrow{bO}$為球面給予系統的正向力，指向圓心；OC通過C點為系統所受重力，C點為質心。從圖形中可以看出，$\Delta Oab$為等腰三角形，畫一ab之中垂線，交ab於D點。圖中$\Delta OCD$與$\Delta aCE$為相似三角形，題目所求 $\theta$ 角亦為 $\angle COD$。

考慮$\Delta Oab$，因 $\overline{Oa}=\overline{Ob}=R$、$\overline{ab}=\sqrt 2 R$，且 $\overline{OD}$ 為 $\overline{ab}$ 之中垂線，故
\begin{aligned}
aD:Db=1:1\implies \overline{aD}=\overline{bD}={\sqrt2 \over 2}R
\end{aligned}

因C點為質心，小球質量比 $m_a:m_b=4：3$，故
\begin{aligned}
\overline{aC}:\overline{Cb}=3:4\implies \overline{aC}=\sqrt2 R\times {3 \over 7}={3\sqrt2 \over 7}R
\end{aligned}

則
\begin{aligned}
\overline{CD}=\overline{aD}-\overline{aC}={\sqrt2 \over 2}R-{3\sqrt2 \over 7}R={\sqrt2 \over 14}R
\end{aligned}

考慮$\Delta OCD$，
\begin{aligned}
\overline{OD}=\sqrt{\overline{Ob}^2-\overline{bD}^2}=\sqrt{R^2-({\sqrt2 \over 2}R)^2}
={\sqrt2 \over 2}R\end{aligned}

故
\begin{aligned}
\tan{\theta}={\overline{CD} \over \overline{OD}}={1\over 7} \implies \theta = {\color{red}{8^\circ}}
\end{aligned}


@Hikari209518 
###### tags: `靜力平衡` `質心位置`