# 112學年度_中壢高中_第二次教甄_計算題03

**如圖，水平面上固定著金屬製的平行軌道，軌道折成兩部分，寬度分別為 $2\ell$、$\ell$，於其上分別靜置質量均為 $m$、長度皆為 $2\ell$ 的均勻金屬棒 P、Q，與軌道垂直且接觸良好，且摩擦力不計；空間中有一方向向上的均勻磁場 $B$。今若突然施一衝量於金屬棒 P，使其具有一水平向右初速 $v$，若金屬棒 P 尚未進入較窄的區域時，兩金屬棒已達終端速度。假設兩金屬棒不會滑離軌道，也始終在磁場範圍內運動。試問：
(a)此時兩金屬棒的終端速度量值？
(b)若金屬棒 P 繼續運動進入較窄的區域後，兩金屬棒會再次達另一終端速度，則從金屬棒 P 受到衝量開始，到此最終狀態，線路中共生熱若干？**

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**應用觀念：載流導線在磁場的受力情形**
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${\color{red}{詳解：}}$
(a)
根據載流導線在磁場的受力情形，金屬棒P、Q的受力情形之關係為
\begin{equation}
\begin{cases}
F_P=i(2\ell)B\\
F_Q=i\ell B
\end{cases}
\implies F_P=-2F_Q
\end{equation}
其中負號代表是兩金屬棒的受力方向相反
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因此
\begin{aligned}
F_P=-2F_Q \implies m\frac{v_P-v}{\Delta t}=m\frac{-2(v_Q-0)}{\Delta t} \implies v_P+2v_Q=v\\
\
\end{aligned}

若達到終端速度，金屬棒P的單位時間面積變化與金屬棒Q的單位時間面積變化需相同，因此
\begin{aligned}
2\ell v_P=\ell v_Q \implies v_Q=2v_P\\
\
\end{aligned}

故終端速度為
\begin{equation}
\begin{cases}
v_P+2v_Q=v\\
v_Q=2v_P
\end{cases}\implies {\color{red}{
\begin{cases}
v_P=\cfrac{1}{5}v\\
v_Q=\cfrac{2}{5}v\\
\end{cases}}}
\end{equation}

(b)
金屬棒P進入窄區域時，其終端速度則變為
\begin{equation}
\begin{cases}
mv_P'+mv_Q'=mv_P+mv_Q=\cfrac{3}{5}mv\\
v_Q'=v_P'
\end{cases}
\implies
v_P'=v_Q'=\cfrac{3}{10}v\\
\end{equation}

消耗能量部分，可以利用運動前後的總動能變化量，即為線路中的熱效應。
\begin{equation}
\Delta E_k=\cfrac{1}{2}mv^2-\cfrac{1}{2}(2m)(\cfrac{3}{10}v)^2={\color{red}{\cfrac{41}{100}mv^2}}\\
\end{equation}

@Hikari209518
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