# 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題12(積分法)
**在光滑的水平地面上有一質量為 $2\text{ kg}$，體積極小的木塊以 $v=4 \text{ m/s}$ 的速度運動；另有一顆質量為 $4\text{ kg}$，體積極小的小球由 $10m$ 高自由落下，重力加速度 $g=10\text{ m/s}^2$。假設座標原點設在球開始掉下時系統的質心上，水平向右為$+x$ 方向，鉛直向上為 $+y$ 方向，則在自由落下的過程中，系統質心運動的軌跡方程式為 $y=ax^2+bx+c$，則$（a，b，c）=$ ________。(全對才給分)**

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**應用觀念：質心運動**
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${\color{red}{詳解：}}$
假設，而木塊與小球的 $x$ 方向速度的時間函數為
（令木塊質量為m，小球質量為M）：
\begin{aligned}
&小球：v_M=0 \\
&木塊：v_m=4 \text{ (m/s)}
\end{aligned}

質心 $x$ 方向速度對時間函數為：
\begin{aligned}
v_c&={mv_m+Mv_M \over m+M}\\
&={2\times 4+4\times 0 \over 2+4}\\
&={4 \over 3}\text{ (m/s)}
\end{aligned}

質心 $x$ 位置對時間函數為：
\begin{aligned}
&\Delta x =\int_0^t v_c\mathrm{d} t=\int_0^t {4 \over 3}\mathrm{d} t\\
&\implies x_c-x_0={4 \over 3}t\\
&\implies x_c={4 \over 3}t+x_0
\end{aligned}

因假設座標原點設在球開始掉下時系統的質心上，為$x_0=0$，則
\begin{aligned}
x_c={4 \over 3}t
\end{aligned}

木塊與小球的 $y$ 方向速度對時間函數為
（令木塊質量為m，小球質量為M）：
\begin{aligned}
&小球：v_M=-gt=-10t \\
&木塊：v_m=0
\end{aligned}

質心 $y$ 方向速度對時間函數為：
\begin{aligned}
v_c&={mv_m+Mv_M \over m+M}\\
&={2\times 0+4\times (-10t) \over 2+4}\\
&=-{20 \over 3}t
\end{aligned}

質心 $x$ 位置對時間函數為：
\begin{aligned}
&\Delta y =\int_0^t v_c\mathrm{d} t=\int_0^t (-{20 \over 3}t)\mathrm{d} t\\
&\implies y_c-y_0=-{10 \over 3}t^2\\
&\implies y_c=-{10 \over 3}t^2+y_0
\end{aligned}

因假設座標原點設在球開始掉下時系統的質心上，為$y_0=0$，則
\begin{aligned}
y_c=-{10 \over 3}t^2
\end{aligned}

將 $x_c$ 與 $y_c$，消除 $t$ 合併：
得到:
\begin{aligned}
y_c=-{10 \over 3}t^2=-{10 \over 3}({3x_c \over 4})^2=-{15 \over 8}x_c^2
\end{aligned}

故
\begin{aligned}
{\color{red}{(a,b,c)=(-{15 \over 8},0,0)}}
\end{aligned}

@Hikari209518
###### tags: `質心運動`