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title: 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_計算題01
tags: [動量守恆, 力學能守恆]

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# 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_計算題01
**質量 $m$ 的小物體，自質量 $M$、傾斜角 $θ$ 的可動斜面上，高 $h$ 處靜止下滑，在忽略一切阻力的情況下，重力加速度為 $𝑔$，當 $m$ 滑抵斜面底端時，斜面的速度為何？**

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/r1HV7U4Sn.png" width="400">
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**應用觀念：**
1. 力學能守恆
2. 動量守恆
<br>

${\color{red}{詳解：}}$

因系統$(m+M)$僅受重力作功，則力學能守恆，故
\begin{aligned}
mgH={1 \over 2}Mv_M^2+{1 \over 2}mv_m^2
\end{aligned}

其中， $v_M$ 為斜面速度向左，$v_m$ 為小物速度，速度方向與水平夾 角為 $\phi$，如下圖所示。(因斜面會左移，則$v_m$ 與水平夾角並非 $\theta$ )

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/ryGW7U4H3.png" width="400">
</center>
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因水平方向系統無受外力，則水平方向下滑前後動量守恆，故
\begin{aligned}
Mv_M=mv_m\cos{\phi}
\end{aligned}

因此，力學能守恆式可改寫為
\begin{aligned}
mgH={1 \over 2}Mv_M^2+{1 \over 2}mv_m^2 &\implies mgH={1 \over 2}Mv_M^2+{1 \over 2}m(v_m^2\cos^2{\phi}+v_m^2\sin^2{\phi})\\
&\implies mgH={1 \over 2}Mv_M^2+{1 \over 2}mv_m^2\cos^2{\phi}(1+\tan^2{\phi})\\
&\implies mgH={1 \over 2}Mv_M^2+{1 \over 2}{M^2 \over m}v_M^2(1+\tan^2{\phi})\\
&\implies mgH={1 \over 2}Mv_M^2(1+{M \over m}(1+\tan^2{\phi}))
\end{aligned} 


此外，$\phi$ 與 $\theta$ 之關係為
\begin{aligned}
\tan{\phi}={h \over \Delta x_m}={h \over {M \over M+m}{h \over \tan{\theta}}}\\
\implies \tan{\phi}={M+m \over M}\tan{\theta}
\end{aligned}

代入上式，得到
\begin{equation}
\begin{aligned}
&mgH={1 \over 2}Mv_M^2(1+{M \over m}(1+\tan^2{\phi}))\\ 
&\implies mgH={1 \over 2}Mv_M^2(1+{M \over m}(1+({M+m \over M}\tan{\theta})^2))\\
&\implies mgH={1 \over 2}Mv_M^2(1+{M \over m}(1+({M+m \over M})^2\tan^2{\theta}))\\
&\implies mgH={1 \over 2}Mv_M^2(1+{M \over m}+{(M+m )^2 \over mM}\tan^2{\theta}))\\
&\implies v_M^2={2mgH \over M}{1 \over 1+{M \over m}+{(M+m )^2 \over mM}\tan^2{\theta}}\\
&\implies v_M^2={2mgH \over M}{mM \over mM+M^2+(M+m )^2 \tan^2{\theta}}\\
&\implies v_M^2={2m^2gH \over mM+M^2+(M+m )^2 \tan^2{\theta}}\\
&\implies v_M={\color{red}{\sqrt{{2m^2gH \over mM+M^2+(M+m )^2 \tan^2{\theta}}}}}\\
\end{aligned}
\end{equation}

@Hikari209518  
###### tags: `力學能守恆` `動量守恆`