# 112學年度_中壢高中_第二次教甄_填充題20

**質量 $m$ 之物體原靜止在光滑水平面上，一水平外力以固定功率 $P$ 作用在此質點上使其開始運動，試問施力歷時 $t$ 後，物體之位移為？**

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**應用概念：牛頓力學**

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${\color{red}{詳解：}}$

利用各項定義，進行積分
\begin{aligned}
P=Fv &\implies P=mav=m(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t})v \\
&\implies \frac{P}{m}\mathrm{d}t=v\mathrm{d}v \\
&\implies \int_0^t\frac{P}{m}\mathrm{d}t=\int_0^vv\mathrm{d}v\\
&\implies \frac{Pt}{m}=\frac{1}{2}v^2\\
\
\end{aligned}

>馬弘昌師提供之解法：根據功能定理與功率之定義
><br>
>\begin{equation}
>\begin{cases}
>W=\Delta E_k\\
>W=P\Delta t
>\end{cases}
>\implies \Delta E_k=P\Delta t \implies \frac{1}{2}mv^2=Pt
>\end{equation}
><br>

利用 $v$ 的定義，再進行一次積分，

\begin{aligned}
\frac{Pt}{m}=\frac{1}{2}v^2 &\implies v=\sqrt{{2Pt} \over m} \\
&\implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\sqrt{{2Pt} \over m} \\
&\implies \mathrm{d}x=\sqrt{{2Pt} \over m} \mathrm{d}t\\
&\implies \int_0^x\mathrm{d}x=\int_0^t\sqrt{{2Pt} \over m} \mathrm{d}t\\
&\implies x=\sqrt{{2P} \over m}({2 \over 3}t^{3\over 2})={\color{red}{\sqrt{{8Pt^3} \over 9m}}}\\
\end{aligned}

@Hikari209518
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