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title: 112學年度_全國聯招_單選題04
tags: [動量守恆, 力學能守恆]

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# 112學年度_全國聯招_單選題04
**如圖所示，質量 $m$ 的一小物體,以一定初速滑上質量 $3m$ 的曲面物體。若曲面固定不動，則 $m$ 最高可滑到曲面上的 $B$ 點；若曲面可在水平地面上自由滑動，則 $m$ 最高可滑到曲面上的 $A$ 點，設不計任何阻力，求 $A、B$ 兩點的高度比為何？
$(A)1:1 (B)1:2 (C)3:4 (D)2:3$**

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/B1OAWYROp.png" width="300">
</center>


<br>

**應用概念：**
1. 力學能守恆
2. 總動量守恆

<br>

${\color{red}{詳解：}}$

若曲面固定不動，假設小物體初速度為 $v$ 。根據力學能守恆，得到
\begin{aligned}
E_f=E_i &\Longrightarrow mgH_B={1 \over 2}mv^2\\
&\Longrightarrow H_B=\frac{v^2}{2g}
\end{aligned}

<br>

若曲面固定可自由滑動，假設小物體初速度為 $v$ 。
根據總動量守恆，黨小物體到最高點時，兩者的速度為
\begin{aligned}
p_f=p_i &\Longrightarrow (m+3m)v'=mv\\
&\Longrightarrow v'=\frac{1}{4}v
\end{aligned}

再利用總力學守恆，得到
\begin{aligned}
E_f=E_i &\Longrightarrow {1 \over 2}(4m)(\frac{1}{4}v)^2+mgH_A={1 \over 2}mv^2\\
&\Longrightarrow mgH_A={1 \over 2}mv^2-{1 \over 2}(4m)(\frac{1}{4}v)^2\\
&\Longrightarrow mgH_A={3 \over 8}mv^2\\
&\Longrightarrow H_A=\frac{3v^2}{8g}
\end{aligned}

因此
\begin{aligned}
H_A:H_B=\frac{3v^2}{8g}:\frac{v^2}{2g}={\color{red}{3:4}}
\end{aligned}
故答案為$(C)$

@Hikari209518 
###### tags: `力學能守恆` `動量守恆`
