# 112學年度_中壢高中_第二次教甄_填充題03
**假設一質量為 $m$ 的物體受到空氣阻力與速度的關係式為 $f=-bv$，請問此物體自靜止開始落下，此
物體的速度量值隨時間的關係式 $v(t)$ 為何？(重力加速度量值為 $g$)**

**應用觀念：牛頓力學**
<br>

${\color{red}{詳解：}}$

利用牛頓第二定律，合力等於質量乘上加速度，則
\begin{aligned}
\Sigma F=ma &\implies mg-bv=ma \\
&\implies mg-bv=m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\\
&\implies \mathrm{d}t=\frac{m}{mg-bv}\mathrm{d}v
\end{aligned}

將其積分：

\begin{aligned}
\int_{0}^{t} \mathrm{d}t=\int_{0}^{v} \frac{m}{mg-bv}\mathrm{d}v &\implies t=-{m \over b}\ln{\frac{mg-bv}{mg}}\\
&\implies e^{-{b \over m}t}=1-\frac{bv}{mg}\\
&\implies v={\color{red}{\frac{mg}{b}(1-e^{-{b \over m}t})}}
\end{aligned}

@Hikari209518
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