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title: 112學年度_彰化高中_第一次教甄_填充題22
tags: [成像公式]

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# 112學年度_彰化高中_第一次教甄_填充題22
**一凹面鏡，曲率半徑為 $r$。一個大小不計的物體在焦點前，距鏡 $p$ 處，沿凹面鏡之主軸，以速度 $v_0$ 向鏡面移動。試問：此物體之像移動速度大小與方向為何？**


**應用觀念：成像公式**
<br>

${\color{red}{詳解：}}$

透鏡(或凹凸面鏡)成像公式為
\begin{aligned}
{1 \over p}+{1 \over q}={1 \over f}\\
\
\end{aligned}

若求速度，則將上式對時間微分：

\begin{aligned}
{\mathrm{d}({1 \over p}+{1 \over q}) \over \mathrm{d}t}={\mathrm{d}({1 \over f}) \over \mathrm{d}t} &\implies (-{1 \over p^2})\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}+(-{1 \over q^2})\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=0\\
&\implies\frac{v_p}{p^2}+\frac{v_q}{q^2}=0\\
\
\end{aligned}

將成像公式整理為
\begin{aligned}
{1 \over p}+{1 \over q}={1 \over f} \implies \frac{1}{q}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}\\
\
\end{aligned}

將上式代入速度關係式

\begin{aligned}
\frac{v_p}{p^2}+\frac{v_q}{q^2}=0 &\implies \frac{v_p}{p^2}+v_q(\frac{1}{f}-\frac{1}{p})^2=0\\
&\implies v_q=-v_p\times \frac{f^2}{(p-f)^2}\\
\
\end{aligned}

將題目所提供之曲率半徑與焦距之關係代 $r=2f$ 代入上式

\begin{aligned}
v_q=-v_p\times \frac{f^2}{(p-f)^2} &\implies v_q=-v_p\times \frac{r^2}{(2p-r)^2}\\
&\implies v_q={\color{red}{-(\frac{r}{2p-r})^2v_0}}
\end{aligned}

其負號代表 $v_0$ 方向相反，即${\color{red}{遠離鏡面}}$。

@Hikari209518  
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