# 112學年度_建國中學_第二次教甄_計算題01

**如圖所示,一條彈力常數為 $k$ 之輕彈簧鉛直懸掛，下端繫質量為 $m$ 與 $3m$ 的 A、B 兩物體，將彈簧由原長狀態靜止釋放兩物體，當兩物體下落到達彈簧伸長量為 $\cfrac{3mg}{k}$ 處，B 物恰好脫落,則此後 A 物體振動之振幅為何？**

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**應用觀念：**
1. 力學能守恆
2. 簡諧運動
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${\color{red}{詳解：}}$
當兩物體下落到達彈簧伸長量為 $\cfrac{3mg}{k}$ 處，此時 A 物動能(若以目前位置為零位面)
\begin{aligned}
E=E_0 &\implies 4mg(\cfrac{3mg}{k})=\cfrac{1}{2}k(\cfrac{3mg}{k})^2+{1 \over 2}mv^2+{1 \over 2}(3m)v^2\\
&\implies 2mv^2=\cfrac{12m^2g^2}{k}-\cfrac{9m^2g^2}{2k}=\cfrac{15m^2g^2}{2k}\\
&\implies {1 \over 2}mv^2=\cfrac{15m^2g^2}{8k}\\
\
\end{aligned}

B 脫離後，簡諧運動之總力學能(以平衡點為基準)
\begin{aligned}
E=E_R &\implies {1 \over 2}mv^2+{1 \over 2}kx^2={1 \over 2}kR^2\\
&\implies \cfrac{15m^2g^2}{8k}+{1 \over 2}k(\cfrac{2mg}{k})^2={1 \over 2}kR^2\\
&\implies R^2=\cfrac{15m^2g^2}{4k^2}+\cfrac{4m^2g^2}{k^2}=\cfrac{31m^2g^2}{4k^2}\\
&\implies R={\color{red}{\cfrac{\sqrt{31}mg}{2k}}}
\end{aligned}

@Hikari209518
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