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title: 112學年度_建國中學_第二次教甄_計算題06
tags: [牛頓力學, 純滾動]

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# 112學年度_建國中學_第二次教甄_計算題06

**如圖所示，將一個質量為 $m$、半徑為 $R$ 的均勻質量圓球靜止置放在斜角為 $\theta=37^\circ$ 的斜面上，球沿斜面作純滾動。已知圓球與斜面之間的靜摩擦係數為 $0.1$，重力加速度為 $g$，圓球對球心的轉動慣量為 $I=\cfrac{2}{5}mR^2$ ，而當斜邊以等加速度 $a$ 向右加速時，如果要維持純滾動，請問 $a$ 的最小值為何？** 


<center>
<img src="https://hackmd.io/_uploads/H1imDxxv2.png" width="350">
</center>
<br>

**應用觀念：**
1. 牛頓力學
2. 純滾動之條件
<br>

${\color{red}{詳解：}}$

利用假想力的方式處理（即站在斜面上看圓球的存滾動），其受力圖如下
<center>
<img src="https://hackmd.io/_uploads/ryBxuxlPh.png" width="250">
</center>
<br>

以平行斜面為 $x$ 軸，垂直斜面為 $y$ 軸，，並假設此時圓球加速度為 $a'$，列出方程式為
\begin{equation}
\begin{cases}
\Sigma F_x=ma\\
\Sigma F_y=0\\ 
\end{cases}
\implies 
\begin{cases}
mg\sin{37^\circ}-ma\cos{37^\circ}-f_s=ma'\\
mg\cos{37^\circ}+ma\sin{37^\circ}=N
\end{cases} \tag{1}\\
\
\end{equation}

轉動部分，合力矩使得圓球有角加速度，其方程式如下
\begin{equation}
\Sigma\tau=I\alpha \implies f_sR=I\alpha=\cfrac{2}{5}mR^2\alpha \implies f_s=\cfrac{2}{5}mR\alpha \tag{2}\\
\
\end{equation}

而純滾動其條件為
\begin{equation}
a'=R\alpha \tag{3}\\
\
\end{equation}

整理第$(1)$式
\begin{equation}
\begin{cases}
mg\sin{37^\circ}-ma\cos{37^\circ}-f_s=ma'\\
mg\cos{37^\circ}+ma\sin{37^\circ}=N\\
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
\cfrac{3}{5}mg-\cfrac{4}{5}ma-f_s=ma'\\
\cfrac{4}{5}mg+\cfrac{3}{5}ma=N
\end{cases} 
\
\end{equation}

將$(2)(3)$式代入上式，
\begin{align}
&\cfrac{3}{5}mg-\cfrac{4}{5}ma-f_s=mR\alpha=\cfrac{5}{2}f_s \\
&\implies 6mg-8ma=35f_s\\
\
\end{align}

根據靜摩擦力之條件，上式可以表示為
\begin{align}
6mg-8ma=35f_s \le 35f_{s,Max}=35N\mu_s\\=35(\cfrac{4}{5}mg+\cfrac{3}{5}ma)\times 0.1
\
\end{align}

故得到
\begin{align}
6mg-8ma \le 2.8mg+2.1ma &\implies 10.1a \ge 3.2g \\
&\implies a \ge \cfrac{3.2}{10.1}g={\color{red}{\cfrac{32}{101}g}}
\end{align}


@Hikari209518 
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