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title: 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題15
tags: [氣體動力論, 彈性碰撞]

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# 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題15
**如圖所示，有一長度甚長的絕熱汽缸，在其左方配置有一內壁為鉛直平面的絕熱塞，可沿水平方向做無摩擦的運動。當活塞靜止不動時，缸內氣體之壓力為 $P$，氣體分子沿水平方向之熱運動速率均同為 $v$，若活塞之質量與氣體分子相較，可視為無窮大，且每一氣體分子與活塞內壁做彈性碰撞，則當活塞以等速度 $u$ 壓縮氣體時（$u<v$），活塞內壁所受之壓力為多少？**

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/HJDBsBMr3.png" width="350">
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**應用觀念：**
1. 氣體動力論：壓力的推導過程
2. 彈性碰撞公式

PS:
此題為1999年第30屆國際物理奧林匹亞競賽國家代表隊初選考試試題，第13題。
(資料來源:雄中物理科物奧考古題 https://ppt.cc/fOIkHx)
從考古題中可以看到，要先求氣體分子與活塞彈性碰撞後的速度，再計算壓力大小。
可利用這樣的思考方向著手。
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${\color{red}{詳解：}}$須注意，以下皆僅考慮$x$方向
利用彈性碰撞公式計算氣體分子碰撞後速度：

\begin{aligned}
v_m'={2M \over m+M}v_M+{m-M \over m+M}v_m\\
\
\end{aligned}

假設，右邊為 +$x$ 方向，因此碰撞前活塞速度為$v_M=u$，碰撞前氣體分子速度為$v_m=-v$，且活塞質量遠大於氣體分子，因此公式為

\begin{aligned}
v_m'={2M \over M}u+{-M \over M}(-v)=2u+v\\
\
\end{aligned}

氣體分子的撞擊前後動量變化為
\begin{aligned}
\Delta p=m\Delta v=m(v_m'-v_m)=m[(2u+v)-(-v)]=2m(u+v)\\
\
\end{aligned}

假設缸內有N個氣體分子，所有分子皆撞擊一次之時間$\Delta t=\cfrac{2L}{v}$，則活塞所受氣體分子平均撞擊力之大小為
\begin{aligned}
F={N\Delta p \over \Delta t}={2Nm(u+v) \over {\cfrac{2L}{v}}}={Nmv(u+v) \over L}\\
\
\end{aligned}

則活塞所受壓力為
\begin{aligned}
P'={F \over A}={Nmv(u+v) \over L\times A}={Nmv(u+v) \over V}\\
\
\end{aligned}

考慮活塞靜止不動之狀態(因汽缸長度甚長，活塞速度影響體積變化極小，將兩者體積視為相同)
\begin{aligned}
P={Nmv^2 \over V} \implies {Nm \over V}={P \over v^2}\\
\
\end{aligned}


代入P'式子，得到
\begin{aligned}
P'={Nmv(u+v) \over V}={P \over v^2}\times {v(u+v)}={\color{red}{P(1+{u \over v})}}\\
\
\end{aligned}


@Hikari209518 
###### tags: `氣體動力論` `彈性碰撞`