# 112學年度_彰化高中_第一次教甄_填充題19
**如圖所示，在 x 軸上方有垂直於 $xy$ 平面的均勻磁場 $B$；在 $x$ 軸下方有沿 $-y$ 方向的均勻電場 $E$。一質量為 $m$，電量為 $-q$ 的粒子，從座標原點 $O$ 沿著 $y$ 軸正向射出。重力不計的情況下，粒子射出之後，第三次到達 $x$ 軸時，與 $O$ 點的距離為 $L$。試問：此粒子由原點射出到第三次到達 $x$ 軸，運動的路徑總長度。**

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/SyusfkoB2.png" width="３０0">
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**應用觀念：**
1. 電場部分：等加速度運動
2. 磁場部分：等速率圓周運動（磁力提供向心力）
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${\color{red}{詳解：}}$

因電場作用，在 $x$ 軸下進行等加速度運動(電力)；因磁場作用，在 $x$ 軸上進行等速率圓周運動(磁力)，軌跡如圖所示

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/rkjz71ir2.png" width="300">
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考慮磁場部分，假設初速度 $v$ 與半徑 $R$ ，則
\begin{aligned}
F_B=F_C &\implies qvB=\frac{mv^2}{R}\\
&\implies v=\frac{qBR}{m}
\
\end{aligned}

根據題目所提供之條件為 $L=4R \implies R=\frac{L}{4}$，則上式可以改寫為

\begin{aligned}
v=\frac{qBR}{m}=\frac{qBL}{4m}\\
\
\end{aligned}

且軌跡路徑長為

\begin{aligned}
\ell_B=2\pi R=\frac{\pi L}{2}\\
\
\end{aligned}

對於電場部分，軌跡類似鉛直上拋，考慮質點往下至最低點的位移
\begin{aligned}
&\Delta y =\frac{v^2-0^2}{2a}=\frac{v^2}{2\frac{Eq}{m}}=\frac{mv^2}{2Eq}\\
&\implies \ell_E=2|\Delta y|=\frac{mv^2}{Eq}
\
\end{aligned}

將 $v=\frac{qBL}{4m}$，代入上式

\begin{aligned}
\ell_E=\frac{mv^2}{Eq}=\frac{m}{Eq}\times \frac{q^2B^2L^2}{16m^2}=\frac{qB^2L^2}{16mE}\\
\
\end{aligned}

故總路徑長為
\begin{aligned}
\ell=\ell_B+\ell_E={\color{red}{\frac{\pi L}{2}+\frac{qB^2L^2}{16mE}}}
\end{aligned}

@Hikari209518
###### tags: `帶電粒子在磁場的受力情形` `電場`