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title: 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題10
tags: [法拉第定律, 勞侖茲力]

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# 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題10
**.質量 $m$，長度 $L$，電阻可以忽略的金屬棒，自與水平夾 $θ$ 角之U形光滑金屬軌道上自由下滑，若重力加速度為 $g$，軌道的電阻為 $R$，且整個裝置置於強度為 $B$ 的向下均勻磁場中，如右圖，當金屬棒下滑速率為最大速率的 $\cfrac{1}{4}$ 時，金屬棒的瞬時加速度量值為若干？**

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/SyfyneTV2.png" width="250">
</center>
<br>

**應用觀念：**
1. 法拉第定律：感應電動是等於封閉線圈內磁通量的時變率
2. 勞侖茲力：載流導線在磁場中的受力情形
<br>

${\color{red}{詳解：}}$
利用法拉第定律(感應電動是等於封閉線圈內磁通量的時變率)，計算金屬棒所產生的電動勢
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<img src="https://hackmd.io/_uploads/BkZzr-TN3.png" width="300">
</center>

\begin{aligned}
\varepsilon=LvB\sin{\varphi}=LvB\sin{(90^{\circ}-\theta)}=LvB\cos{\theta}\\
\
\end{aligned}

因為有電動勢，形成電流，因此金屬棒在磁場中受到勞侖茲力，
\begin{aligned}
F=iLB={\varepsilon \over R}\times LB={L^2vB^2\cos{\theta} \over R}\\
\
\end{aligned}

考慮斜面方向合力
<center>
<img src="https://hackmd.io/_uploads/SyuwEW6Nh.png" width="300">
</center>


\begin{aligned}
\Sigma F=mg\sin{\theta}-F\cos{\theta}=mg\sin{\theta}-{L^2vB^2\cos^2{\theta}\over R}\\
\
\end{aligned}

若$v=v_{max}$，則合力為零，因此
\begin{aligned}
{L^2v_{max}B^2\cos^2{\theta} \over R}=mg\sin{\theta}\\
\
\end{aligned}

若速率為最大速率的${1 \over 4}$，則合力可表示為
\begin{aligned}
\Sigma F&=mg\sin{\theta}-F'\cos{\theta}\\
&=mg\sin{\theta}-{L^2v'B^2\cos^2{\theta} \over R}\\
&=mg\sin{\theta}-{L^2({1 \over4 }v_{max})B^2\cos^2{\theta} \over R}\\
&=mg\sin{\theta}-{1 \over4 }{L^2v_{max}B^2\cos^2{\theta} \over R}\\
\
\end{aligned}

因為
\begin{aligned}
{L^2v_{max}B^2\cos^2{\theta} \over R}=mg\sin{\theta}\\
\
\end{aligned}

所以
\begin{aligned}
\Sigma F=ma&\implies mg\sin{\theta}-{1 \over4 }{L^2v_{max}B^2\cos^2{\theta} \over R}=ma \\
&\implies mg\sin{\theta}-{1 \over4 }mg\sin{\theta}=ma\\
&\implies a={\color{red}{{3 \over 4}g\sin{\theta}}}\\
\
\end{aligned}

@Hikari209518 
###### tags: `法拉第定律` `勞侖茲力`
