---
# System prepended metadata

title: 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題07
tags: [力學能守恆]

---

# 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題07
**一根長為 $\ell$ ，質量為 $m$ 的均勻銅棒，垂直豎立於粗糙的水平地面上。現輕推一下剛棒的頂端，使其傾斜倒下，但其接地的底端則未滑動。重力加速度為$𝑔$，當剛棒傾斜的角度為 $θ$ 時，如右圖所示，其角速度 $ω$ 為多少？**


<center>
<img src="https://hackmd.io/_uploads/B1e9Wjo34n.png" width="200">
</center>
<br>

**應用觀念：力學能守恆**
<br>

${\color{red}{詳解：}}$
因掉落過程中只有重力(保守力)作功，則力學能守恆，

\begin{aligned}
E_i=E_f \implies U_i+E_{K,i}=U_f+E_{K,f}
\end{aligned}

若以地面為零位面，且動能為轉動動能，則
\begin{aligned}
U_i+E_{K,i}=U_f+E_{K,f} &\implies mg \times {1 \over 2} \ell + 0=mg \times {1 \over 2} \ell \cos{\theta}+{1 \over 2}I \omega^2  \\
&\implies mg \ell (1-\cos{\theta})=I \omega^2 \\
&\implies \omega =\sqrt{{mg \ell (1-\cos {\theta}) \over I}}
\end{aligned}

其中，$I$是以接地端為圓心的剛棒轉動慣量，將其值代入
\begin{aligned}
I={1 \over 3}m \ell ^2 &\implies \omega =\sqrt{{mg \ell (1-\cos {\theta}) \over I}}\\
&\implies \omega ={\color{red}{\sqrt{{3g (1-\cos {\theta}) \over \ell}}}}
\end{aligned}

@Hikari209518 
###### tags: `力學能守恆`