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title: 112學年度_中壢高中_第二次教甄_填充題14
tags: [彈性碰撞]

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# 112學年度_中壢高中_第二次教甄_填充題14

**如圖所示，一均質剛體細桿，長度為 $2L$，質量為 $3M$，靜上置放在一光滑的水平面上，現有一質
量為 $M$ 的質點，以初速率 $v$，垂直細桿方向，在細桿邊緣發生彈性碰撞，則碰撞後，細桿旋轉的
角速率為何？** 

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/SkOINA48n.png" width="150">
</center>
<br>

**應用觀念：彈性碰撞**
<br>

${\color{red}{詳解：}}$
因加入旋轉，故新增一個守恆式：角動量守恆。首先，動量守恆式為
\begin{equation}
Mv=Mv'+3Mv_{3}' \implies v=v'+3v_3' \tag{1}
\end{equation}
其中，$v'$ 為質點碰撞後速度，$v_3'$ 為細桿碰撞後質心速度，$\omega$ 則為角速度。

接著，以細桿中心為參考點，角動量守恆式為
\begin{equation}
MvL=Mv'L+I\omega \implies MvL=Mv'L+{1 \over 12}(3M)(2L)^2\omega^2 \implies v=v'+L\omega \tag{2}\\
\
\end{equation}

總動能守恆式為
\begin{equation}
\begin{aligned}
&{1 \over 2}Mv^2={1 \over 2}Mv'^2+{1 \over 2}(3M)v_{3}'^2+{1 \over 2}I\omega^2 
\\
&\implies Mv^2=Mv'^2+(3M)v_{3}'^2+{1 \over 12}(3M)(2L)^2\omega^2\\
&\implies v^2=v'^2+3v_3'^2+L^2\omega^2\\
\
\end{aligned}
\end{equation}

將上式與式$(1)$和$(2)$聯立

\begin{equation}
\begin{cases}
v=v'+3v_3'\\
v=v'+L\omega \\
v^2=v'^2+3v_3'^2+L^2\omega^2
\end{cases}
\implies 
\begin{cases}
\omega ={\color{red}{\cfrac{6v}{7L}}}\\
v'=\cfrac{v}{7}\\
v_3'=\cfrac{2v}{7}\\
\end{cases}
\end{equation}


@Hikari209518 
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