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title: 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題06
tags: [克卜勒行星運動定律]

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# 112學年度_嘉義高中_第一次教甄_填充題06
**設地球為一半徑 $R$ 之均勻正球體。不計任何阻力，並忽略地球自轉效應，於地表上A發射一枚洲際飛彈，其初速為$v$，與地平線之仰角 $θ＝30°$，該砲彈落於B處，且其由A到B之軌跡恰為橢圓的一半，如圖所示。假設地球的球心位於橢圓的一個焦點上，則從A到B的飛行時間為多少？**

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/H1cJsD2V2.png" width="250">
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**應用觀念：克卜勒行星運動定律**
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${\color{red}{詳解：}}$
根據克卜勒行星運動第二定律，單位時間飛彈與球心的連線所掃過面積可以表示為

\begin{aligned}
{\Delta A \over \Delta t}={L \over 2m}
\end{aligned}

其中，$L$為飛彈相對於球心的角動量，$m$為飛彈之質量。故上式可以整理為
\begin{aligned}
{\Delta A \over \Delta t}={L \over 2m}={mRv\sin{(90^{\circ}-\theta)} \over 2m}={1 \over 2}Rv\cos{\theta}
\end{aligned}

若要計算時間，需先計算飛彈與球心的連線所掃過總面積

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<img src="https://hackmd.io/_uploads/rk5nou242.png" width="250">
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\begin{aligned}
\Delta A &= \overbrace{{1\over2}\times R\sin{\theta}\times R\cos{\theta}\times 2}^\text{紅色面積}+\overbrace{{1\over2}\pi\times R\times R\cos{\theta}}^\text{膚色面積}\\
 &=R^2\sin{\theta}\cos{\theta}+{1\over2}\pi R^2\cos{\theta}
\end{aligned}

因此，所經過時間為
\begin{aligned}
\Delta t &={\Delta A \over {1 \over 2}Rv\sin{\theta}}={R^2\sin{\theta}\cos{\theta}+{1\over2}\pi R^2\cos{\theta} \over {1 \over 2}Rv\cos{\theta}}={R \over v}(2\sin{\theta}+\pi)
\end{aligned}

將$θ＝30°$代入上式
\begin{aligned}
\Delta t ={R \over v}(2\sin{\theta}+\pi)={\color{red}{{R \over v}(1+\pi)}}
\end{aligned}

@Hikari209518 
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