# Ableitung gerade Funktion

###### tags: `gerade/ungerade Funktion` 514 532

> Für alle differenzierbaren Funktionen $f:\R\to\R$ gilt Foldendes:
> Wenn $f$ gerade ist, dann ist ihre Ableitung $f':\R\to\R$ ungerade.
>
> Zu Ihrer Erinnerung: $f$ heißt *gerade*, wenn für alle $x\in\R$ gilt $f(-x)=f(x)$, und $f$ heißt *ungerade*, wenn für alle $x\in\R$ gilt $f(-x)=-f(x)$.

--

**(1)** Die Aussage ist wahr.
Es sei $g(x):=f(-x)$. Als Hintereinanderausführung der differenzierbaren *`_Lücke_`* $x\mapsto -x$ und $f$ ist auch $g$ differenzierbar und wir können ihre Ableitung mit der Kettenregel berechnen durch $g'(x)=f'(-x)\cdot(-1)=-f'(-x)$. Andererseits ist $f$ ja gerade und wir haben deshalb $g(x)=f(x)$, also sofort $g'(x)=f'(x)$. Vergleicht man diese beiden Werte für $g'$, sieht man $g'(x)=-f'(-x)=f'(x)$, was die zu untersuchende Behauptung beweist.

**(2)** Die Aussage ist wahr.
Für alle $h\in\R$, $h\neq 0$, betrachten wir den zur Ableitung in $x\in\R$ gehörenden Differenzenquotienten:
$$
\underbrace{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}_
{\begin{array}{c}\phantom{h\to 0~~}{\displaystyle\downarrow} ~h\to 0\\ \displaystyle f'(x)\end{array}}
\overset{f\text{ gerade}}{=====}
\frac{f(-x-h)-f(-x)}{h} ~=~
\underbrace{-\frac{f(-x-h)-f(-x)}{-h}}_
{\begin{array}{c}\phantom{-h\to 0\;~}{\displaystyle\downarrow} ~-h\to 0\\ \displaystyle -f'(-x)\end{array}}
$$
Dadurch, dass die *`_Lücke_`* in der ersten Zeile alle gleich sind, müssen auch ihre Grenzwerte übereinstimmen, was die zu untersuchende Behauptung beweist.

**(3)** Die Aussage ist falsch.
Als Hintereinanderausführung der differenzierbaren Funktionen $x\mapsto -x$ und $f$ erhalten wir nach der *`_Lücke_`* $f'(-x)=f'(x)$, was beweist, dass die Ableitung $f'$ wie die Funktion $f$ gerade und nicht notwendig ungerade ist.

**(4)** Die Aussage ist falsch.
Für alle $h\in\R$, $h\neq 0$, betrachten wir den zur *`_Lücke_`* in $x\in\R$ gehörigen Differenzenquotienten:
$$
\underbrace{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}_
{\begin{array}{c}\phantom{h\to 0~~}{\displaystyle\downarrow} ~h\to 0\\ \displaystyle f'(x)\end{array}}
\overset{f\text{ gerade}}{=====}
\underbrace{\frac{f(-x-h)-f(-x)}{h}}_
{\begin{array}{c}\phantom{-h\to 0\;~}{\displaystyle\downarrow} ~h\to 0\\ \displaystyle f'(-x)\end{array}},
$$
was beweist, dass die Ableitung $f'$ wie die Funktion $f$ ungerade und nicht notwenig gerade ist.

**(5)** Die Aussage ist falsch.
Zu jeder beliebigen differenzierbaren Funktion $h:\R\to\R$ gibt es eine gerade Funktion $f$ und eine ungerade Funktion $g$, beide differenzierbar, sodass $h=f+g$. Dadurch, dass für jedes $x\neq 0$ die Ableitungen $h'(x)$ und $h'(-x)$ (durch *`_Lücke_`* Wahl von $h$) völlig frei und unabhängig voneinander in $\R$ variiert werden können, ist es völlig unmöglich, dass die zu beurteilende Behauptung in jedem Fall gilt.

---

**(1)** Die Begründung war fehlerfrei. In die Lücke sollte `Funktionen` eingetragen worden sein.

**(2)** Die Begründung war fehlerfrei. In die Lücke sollte `Differenzenquotienten` eingetragen worden sein.

**(3)** In dieser Begründung wird an keiner Stelle die Voraussetzung benutzt, dass $f$ gerade ist. Außerdem wurde die Kettenregel falsch angewendet.

**(4)** Beim zweiten Differenzenquotienten hätte man wegen $f(-x\color{red}{-h})$ durch
$\color{red}{-h}$ teilen müssen und nicht durch $h$, was den Vorzeichenfehler hervorruft.

**(5)** Es ist zwar richtig, dass jedes $h$ sich so zerlegen läßt, und es ist auch richtig, dass $h'(x)$ und $h'(-x)$ unabhängig voneinander variiert werden können (durch Veränderung von $h$), die behauptete Konsequenz daraus ist aber durch nichts begründet und sogar falsch.