# Eindeutigkeit Polynomfaktorisierung

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> Für alle $n\in\N$ und paarweise verschiedenen komplexen Zahlen $z_1,\dots,z_n\in\C$ gilt:
>
> Falls das komplexe Polynom $f:\C\to\C$ die Faktorisierung
> $$f(z)=\prod_{k=1}^n(z-z_k)$$
> hat, so gibt es keine andere Faktorisierung von $f$ (wenn man von der Vertauschung der Reihenfolge der Multiplikationen [also der Umnummerierung der $z_k$] absieht).
>
> *Hinweis:* Dabei heißen $z_1,\dots,z_n\in\C$ paarweise verschieden, wenn für alle $i\neq j$ gilt $z_i\neq z_j$.

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**(1)** Die Aussage ist wahr.
Es sei $f(z)=a\cdot\prod_{l=1}^m(z-w_l)$ eine beliebige Faktorisierung von $f$. Beim Ausmultiplizieren beider Faktorisierungen erhält man dasselbe Polynom, also gilt $a=1$ und $m=n$, denn dies ist der Grad des Polynoms. Jedes $z_k$, $k=1,\dots,n$, ist Nullstelle von $f$, was aus der gegebenen Faktorisierung (durch Einsetzen) folgt. Würde dieses $z_k$ nicht unter den $w_l$ sein, wären alle Faktoren $(z-w_l)$ in der zweiten Faktorisierung für $z=z_k$ von Null verschieden, es würde also $f(z_k)\neq 0$ gelten, ein Widerspruch. Also sind alle $z_k$ unter den $w_l$. Dadurch, dass es $n$ verschiedene $z_k$ gibt und $m=$*`_Lücke_`* gilt, haben wir $\{z_1,\dots z_n\}=\{w_1,\dots,w_m\}$, also stimmen beide Faktorierungen überein.

**(2)** Die Aussage ist falsch.
Eine Faktorisierung von $f$ sieht nach dem *`_Lücke_`* der Algebra im allgemeinen so aus:
$$
f(z)=a_n(z-w_1)^{\nu_1}\dots(z-w_m)^{\nu_m}.
$$
Dadurch, dass die $w_l$ aus der allgemeinen Faktorisierung allesamt Nullstellen von $f$ sind, müssen sie unter der $z_k$ sein. Allerdings könnten sie auch mit höherem Exponenten als in der gegebenen Faktorisierung auftreten, also ist die Faktorisierung nicht eindeutig.

**(3)** Die Aussage ist falsch.
Eine Faktorisierung von $f$ sieht nach dem Satz von *`_Lücke_`* im allgemeinen so aus:
$$
f(z)=a_n(z-w_1)^{\nu_1}\dots(z-w_m)^{\nu_m}.
$$
Dadurch, dass die $z_k$ auf Grund der gegebenen Faktorisierung allesamt Nullstellen von $f$ sind, müssen sie unter den $w_l$ aus der allgemeinen Faktorisierung sein. Allerdings könnten sie auch mit höherem Exponenten also in der gegebenen Faktorisierung auftreten. Damit ist die Faktorisierung nicht eindeutig.

**(4)** Die Aussage ist wahr.
Eine Faktorisierung von $f$ sieht nach dem Satz von Gauß im allgemeinen so aus:
$$
f(z)=a_n(z-w_1)^{\nu_1}\dots(z-w_m)^{\nu_m}.
$$
Dadurch, dass beide Faktorisierungen beim Ausmultiplizieren dasselbe Polynom $f$ ergeben, kann man die allgemeine Faktorisierung an allen Stellen $z\in\C$, die keine Nullstellen von $f$ sind, durch die gegebene Faktorisierung teilen, wobei man immer $1$ als Ergebnisse erhält. Diese Quotientenfunktion kann man nach der Regel von *`_Lücke_`* auch stetig auf die Nullstellen von $f$ fortsetzen. Die diese Fortsetzung eindeutig ist, folgt die Behauptung.

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**(1)** Die Begründung war fehlerfrei. In die Lücke sollte $\color{red}{n}$ eingetragen worden sein.

**(2)** Höhere Exponenten sind nicht möglich. Ist beispeilsweise $\nu_1\ge 2$ und ist beispielsweise $w_1=z_1$, so kann man beide Darstellungen durch $(z-z_1)$ bzw. $(z-w_1)$ teilen. Da diese Linearfaktoren übereinstimmen, müssen auch die Quotienten-Polynome übereinstimmen. Im Falle der gegebenen Faktorisierung ist $z_1$ nicht mehr Nullstelle des Quotienten-Polynoms, im Falle der allgemeinen Faktorisierung ist $w_1=z_1$ immer noch Nullstelle. Dies ist offenbar ein Widerspruch.

**(3)** Höhere Exponenten sind nicht möglich. Ist beispeilsweise $\nu_1\ge 2$ und ist beispielsweise $w_1=z_1$, so kann man beide Darstellungen durch $(z-z_1)$ bzw. $(z-w_1)$ teilen. Da diese Linearfaktoren übereinstimmen, müssen auch die Quotienten-Polynome übereinstimmen. Sie haben also auch genau dieselben Nullstellen. Im Falle der gegebenen Faktorisierung ist $z_1$ nicht mehr Nullstelle des Quotienten-Polynoms, im Falle der allgemeinen Faktorisierung ist $w_1=z_1$ immer noch Nullstelle. Dies ist offenbar ein Widerspruch.

**(4)** Daraus, dass $f(x)/g(x)=1$ für alle $x$ außer den wenigen Nullstellen von $g$,
folgt für stetige $f$ und $g$ lediglich ihre Übereinstimmung als Funktionen, nichts über ihre Darstellungsweise.