# Teilfolge konvergent

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> Für alle Folgen $(a_n)_{n\in\N}$ reeller Zahlen und alle ihre Teilfolgen $(a_{n_k})_{k\in\N}$ gilt Folgendes:
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> Konvergiert $(a_n)_{n\in\N}$, so konvergiert auch $(a_{n_k})_{k\in\N}$.

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**(1)** Die Aussage ist wahr.
Es bezeichne $a$ den Grenzwert von $(a_n)_{n\in\N}$. Es reicht zu zeigen, dass auch $(a_{n_k})_{k\in\N}$ gegen $a$ konvergiert. Nach Definition des Grenzwertes ist also für $\varepsilon>0$ die Existenz eines $K\in\N$ nachzuweisen, sodass für alle $k\in\N$ mit $k\ge K$ gilt $\left| a_{n_k}-a \right|<\varepsilon~~$**(1)**. Wegen $a_n\to a$ gibt es ein $N\in\N$ so, dass für alle $n\in\N$ mit $n\ge N$ gilt $\left|a_n-a\right|<\varepsilon$. Nach vollständiger *`_Lücke_`* folgt aus der Definition einer Teilfolge, dass für alle $k\in\N$ gilt $n_k\ge k$. Daraus folgt **(1)** für alle $k\ge K:=N$.

**(2)** Die Aussage ist wahr.
Als konvergente Folge ist $(a_n)_{n\in\N}$ auch eine Cauchyfolge. Für alle $\varepsilon>0$ gibt es also ein $N\in\N$ so, dass für alle $n,m\in\N$ mit $n,m\ge N$ gilt $|a_n-a_m|<\varepsilon$. Für alle $k\in\N$ folgt nach vollständiger Induktion aus der Definition einer Teilfolge, dass $n_k\ge k$ und $n_l\ge l$. Damit gilt für alle $k,l\ge N$ auch $n_k,n_l\ge N$ und damit $\left| a_{n_k}-a_{n_l} \right|<\varepsilon$. Damit ist $(a_{n_k})_{k\in\N}$ eine *`_Lücke_`*, also konvergent.

**(3)** Die Aussage ist falsch.
Als konvergente Folge ist $(a_n)_{n\in\N}$ beschränkt und als beschränkte Folge besitzt sie nach Bolzano-Weierstraß in der Tat eine konvergente *`_Lücke_`*. Diese muss aber keineswegs mit $(a_{n_k})_{k\in\N}$ übereinstimmen.

**(4)** Die Aussage ist falsch.
Es könnte nämlich sein, dass die $n_k$, $k\in\N$, viel zu schnell wachsen. Denn dann könnte es sein, dass die $a_{n_k}$, $k\in\N$, gar nicht die Zeit haben, schnell genug zu *`_Lücke_`*.

**(5)** Die Aussage ist falsch.
Wir konstruieren ein Gegenbeispiel. Dazu erinnern wir uns, dass auch Reihen spezielle Folgen sind, nämlich Partialsummenfolgen. Wir starten mit der oszillierenden harmonischen Reihe $\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\frac1k$ mit der Partialsummenfolge $(s_n)_{n\in\N}$, gegeben durch $s_n:=\sum_{k=1}^n(-1)^k\frac1k$. Diese Reihe konvergiert tatsächlich, und zwar sieht man das mit dem *`_Lücke_`*-Kriterium. Betrachten wir nun aber die Teilfolge $(s_{2n})_{n\in\N}$, so sehen wir deren Divergenz ein, denn dies ist die Reihe $\sum_{n=1}^\infty(-1)^{2n}\frac{1}{2n}=\frac12\sum_{n=1}^\infty\frac1n$. Da die darin auftretende harmonische Reihe divergiert, sind wir fertig.

**(6)** Die Aussage ist falsch.
Da die zu beurteilende Aussage für *alle* Folgen und *alle* Teilfolgen gemacht wurde, können wir uns beides bei der Konstruktion eines Gegenbeispiels nach Belieben aussuchen. Wir setzen
$$
a_{2n-1}:=\frac1n,\qquad a_{2n}:=\frac{1}{2^n},\quad n\in\N.
$$
Diese Folge konvergiert offenbar gegen $0$. Nun ist es zwar so, dass die Teil-Folge $\left(\frac{a_{2n}}{a_{2n-1}}\right)_{n\in\N}=\left(\frac{n}{2^n}\right)_{n\in\N}$ gegen Null konvergiert, aber die Teil-Folge $\left(\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}}\right)_{n\in\N}=\left(\frac{2^n}{n+1}\right)_{n\in\N}$ bestimmt *`_Lücke_`*.

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**(1)** Die Begründung war fehlerfrei. In die Lücke sollte `Induktion` eingetragen
worden sein.

**(2)** Die Begründung war fehlerfrei. In die Lücke sollte `Cauchyfolge` eingetragen
worden sein.

**(3)** Dass eine andere Teilfolge konvergiert, heißt lange noch nicht, dass die gewählte Teilfolge **nicht** konvergiert.

**(4)** Hier wird gar nicht mathematisch argumentiert. Die beutzten Begriffe hätten definiert werden müssen. Aber auch das wäre ohne Fehler nicht möglich gewesen, denn **hier** wird ja eine falsche Aussage bewiesen.

**(5)** $s_{2n}$ wird vollkommen falsch ausgerechnet, indem in
$s_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k}\frac{1}{k}$ alle negativen Werte weggelassen werden.

**(6)** Das Wort **Teil**folge hat nichts mit der arithmitischen Operation des Teilens, also der Division, zu zun.