# Teilfolge divergent

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> Für alle Folgen $(a_n)_{n\in\N}$ reeller Zahlen und alle ihre Teilfolgen $(a_{n_k})_{k\in\N}$ gilt Folgendes:
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> Divergiert $(a_n)_{n\in\N}$, so divergiert auch $(a_{n_k})_{k\in\N}$.

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**(1)** Die Aussage ist wahr.
Nach *`_Lücke_`* Induktion folgt aus der Definition einer Teilfolge, dass für alle $k\in\N$ gilt $n_k\ge k$. Damit folgt aus $a_n\xrightarrow{n\to\infty}\infty$ sofort $a_{n_k}\xrightarrow{k\to\infty}\infty$.

**(2)** Die Aussage ist wahr.
Nach vollständiger *`_Lücke_`* folgt aus der Definition einer Teilfolge, dass für alle $k\in\N$ gilt $n_k\ge k$. Dadurch ist die *Durchlaufgeschwindigkeit* bei der Teilfolge höher als bei der gegebenen Folge, die für sich schon divergierte. Die Teilfolge hat aber *noch viel weniger Zeit*, doch noch zu konvergieren, was somit unmöglich ist.

**(3)** Die Aussage ist falsch.
In der Tat kann man ja einfach $n_k:=1$, $k\in\N$, setzen und hat somit $a_{n_k}\xrightarrow{k\to\infty}a_1$, die Teilfolge *`_Lücke_`* also.

**(4)** Die Aussage ist falsch.
Sonst müsste ja jede divergente Folge eine konvergente *`_Lücke_`* haben, was z.B. bei $a_n:= n$ nicht möglich ist.

**(5)** Die Aussage ist falsch.
Nimmt man z.B. die durch $a_n:=(-1)^n$ definierte (bekanntermaßen divergierende) Folge, dann konvergiert die durch $n_k:=2k$, $k\in\N$, definierte Teilfolge, denn es gilt für alle $k\in\N$, dass $a_{n_k}=$*`_Lücke_`*.

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**(1)** Es war nicht vorausgesetzt, dass die Folge bestimmt gegen $+\infty$ divergiert, und dies gilt auch nicht für alle divergenten Folgen. Also kann man das auch nicht als Grundlage für den Beweis nehmen.

**(2)** Hier wird gar nicht mathematisch argumentiert. Die benutzten Begriffe hätten definiert werden müssen. Aber auch das wäre ohne Fehler nicht möglich gewesen, denn **hier** wird ja eine falsche Aussage bewiesen.

**(3)** Die gewählte Folge ist gar keine Teilfolge, denn für Teilfolgen muss stets $n_{k+1}>n_k$ gelten.

**(4)** In der Tat sind sämtliche Teilfolgen der angegebenen divergenten Folge auch divergent. Dieses Beispiel beweist aber keineswegs, dass es nicht eine andere divergente Folge geben könnte, welche tatsächlich eine konvergente Teilfolge hat.

**(5)** Die Begründung war fehlerfrei. In die Lücke sollte `1` eingetragen worden sein.