# Bolzano-Weierstraß 2a

###### tags: `Bolzano`

Betrachten Sie folgende Aussage:

> **(2a)** Es seien $(a_n)_{n\in\N}$ und $(b_n)_{n\in\N}$ reelle Folgen.
> Von der Folge $(a_n)_{n\in\N}$ ist bekannt, dass sie konvergiert.
> Die Folge $(b_n)_{n\in\N}$ sei unbeschränkt.
>
> Für alle möglichen derartigen Folgen gilt, dass die Folge $(c_n)_{n\in\N}$
> unbeschränkt ist. Dabei ist $c_n:=a_n+b_n$, $n\in\N$.

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**(2b)** Wir widerlegen die Aussage mit Hilfe eines Gegenbeispiels. Dazu seien $a_n:=n$ und $b_n:=-n$, $n\in\N$. Beide Folgen $(a_n)_{n\in\N}$ und $(b_n)_{n\in\N}$ sind *`_Lücke_`*. Aber es gilt $c_n=a_n+b_n=0$, $n\in\N$. Dadurch, dass $(c_n)_{n\in\N}$ offenbar beschränkt, sind wir fertig. %unbeschränkt

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