---
tags: Fundamentals of Logic Design
---
# Introduction Number Systems and Conversion

## Digital Systems and Switching Circuits

類比：任何時間都有值
數位：不是任何時間都有值 (精確度, 可靠度比較高)

:memo: 為什麼數位系統比較精確度及可靠：
類比系統是追求不要有任何誤差，可是之後又一些變因可能會造成相當大的誤差。數位系統是一開始給你一個誤差（是可決定的誤差），之後就不會超過這個一開始的誤差

在數位系統中， bit 越多就越精確

類比 -> （類比轉數位）-> (DSP 數位訊號處理) -> （數位轉類比）-> 類比

這堂課主要著重在 logic level
gates = 邏輯閘

由高電位區分 0 跟 1。 如果 s 接回去 v0 就是 3V ON

combinational network 組合網路
sequential network 順序網絡

## Conversion between Number Systems

10進位轉換至2進位
* 整數部分

* 小數點的部分
像是0.7就無法使用二進制無誤差的表現出來，會無限Loop。這裡較表現出來計算機因為表示方式而產生誤差

* 來個練習吧
除法<-小數點->乘法

* 快速法
8進制和2進制差3個位元，所以就是把三個當一個單位
110 -> $2^2 \times 1 + 2^1 \times 1 + 2^0 \times 0 = 6$。
2進制和16進制差4個位元

## Binary Arithmetic


## Negative Numbers
以下介紹三種表示負數的方法

* sign and magnitude
(sign bit) + (positive magnitude)
Hard to implement in hardware

* 1's complement

* 2's complement (大家比較常用的一個方法)
做完 1's complement 後，再加一
2's complement 只有正零的原因，把超出四位元的數字捨棄掉，最後就等於正零的表示法

## Addition in 2's complement
**2's complement arithmetic 運算規則：Any carry from the sign position is ignored !!!** 請記住
0101 -> n=4 bit (四個位元)
四個位元的顯示範圍 $+2^{n-1}-1 \sim -2^{n-1}$

所以加法如果超過這個範圍，需要特別處理。超過+7這個四位元的系統是無法表現的。如圖所示，+11變成 1011 是負數的表示法(2's complement arithmetic)，兩個正數相加變負數是錯誤的。這個就是所謂的 ==overflow== 。

:memo: 一正一負相加絕對不會 overflow，以下圖片可以說明

Any carry from the sign position is ignored
多出來的 1 可以直接拿掉

* Summary
* (+) + (+) = (-) -> overflow
* (-) + (-) = (+) -> overflow
* (-) + (+) = (-) or (+) -> must be ok!
* (+) + (-) = (-) or (+) -> must be ok!

## Addition in 1's complement
對 carry 的處理方式與 2's complement 不一樣，需要加回來
第二題：overflow

第四題：carry 需要加到最右邊的 bit。這種carry 稱為 end-around carry

## Binary Codes
為了 IO 方便使用者觀看，選擇浪費一點記憶體，四個位元為一組代表一個數字

gray code 的特性：相鄰的數只能有一個位元不一樣。（之後會用到）
Excess-3 code 的特性：8-4-2-1 全部都加3

**Summary**