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title: 態向量 $State$ $Vector$
tags: [Quantum]

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# 態向量 $State$ $Vector$

###### tags: `Quantum`

+  **狄拉克符號** $Dirac$ $notation$

狄拉克符號是用來描述量子力學狀態的符號，分別為括量$|\psi⟩$$(ket)$和包量$⟨\psi|$ $(bra)$

兩個和起來叫做$bracket$，括號的意思
> 確實括號就是要一左一右，一包一括

括量我們可以定義為$M_{n \times 1}(\mathbb{R})$的矩陣或是向量

$$ |\psi⟩ = [c_1 , c_2 , \cdots , c_n]^T = \left[\begin{array}{cc} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{array}\right] $$

而包量就是括量取共軛轉置後取的，所以

$$ ⟨\phi| = |\phi⟩^\dagger = \overline{ ( |\phi⟩ )^T } = \left[ \overline{d_1} , \overline{d_2} , \cdots , \overline{d_n} \right]$$

描述態向量會需要用到類似線性代數裡的基底 $basis$，其中括量 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 可以說是在 $\mathbb{R}^2$ 裡面的 $standard basis$

$$ |0⟩ = \left[\begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right] $$
$$ |1⟩ = \left[\begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array}\right] $$

+ **態向量** $State$ $Vector$

假設有個態向量$|q_0⟩$長下面這樣，可以寫成由$|0⟩,|1⟩$組成的線性組合，在量子中稱為疊加態

$$ |q_0⟩ = \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{i}{\sqrt2} \end{array}\right] = \frac{1}{\sqrt2}|0⟩ + \frac{i}{\sqrt2}|1⟩ $$

所以所有由一個量子位元的態向量$|q⟩$可以表示如下，其中$c_1,c_2$是複系系數$\mathbb{C}$，是$|q⟩$的分量，也就是$c_1$在$|0⟩$的分量,$c_2$在$|1⟩$，以量子學來講是$|q⟩$分別在$|0⟩$&$|1⟩$出現的機率幅

$$ |q⟩ = c_1|0⟩ + c_2|1⟩ $$


廣義來說，在有限維$n$下，我們需要複系系數，標準和正交的基底，也就是單範正交基$orthonormal$ $basis$來做線性組合

$$ |q⟩ = c_1|e_1⟩ + c_2|e_2⟩ + \cdots + c_n|e_n⟩ _ { \forall c_i \in \mathbb{C} \& 1 \leq i \leq n}$$

態向量存在於內積空間裡，可以用包量和括量來內積來得到常數

$$ ⟨\phi|\psi⟩ = \left[ \overline{d_1} , \overline{d_2} , \cdots , \overline{d_n} \right] \left[ \begin{array}{cc} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n \end{array}\right] $$


要測量機率幅其中一個量子態$|e⟩$在另外一個量子態$|q⟩$就會需要內積

$$ p(|q⟩) = |⟨q|e⟩|^2 $$

以剛剛的$|q_0⟩$作為例子，假設現在要測量$|q_0⟩$在$|0⟩$上面會有多少的機率幅，如下

$$ ⟨0|q_0⟩ = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt2} \\ \frac{i}{\sqrt2} \end{array}\right] = \frac{1}{\sqrt2}⟨0|0⟩ + \frac{i}{\sqrt2} ⟨1|1⟩ = \frac{1}{\sqrt2}$$

$$ p(|q_0) = |⟨0|q_0⟩|^2 = \frac{1}{2}$$

可以注意的一個點是，在量子力學中，表達粒子的量子態的波函數必須滿足歸一性，機率幅是一種機率，也就是說某粒子有各種疊加態$|\psi⟩$，粒子存在的機率必須等於$1$，$⟨\psi|\psi⟩ = 1$

$$ ⟨\psi|\psi⟩ = 1 _{\forall \psi \in M_{n \times 1}(\mathbb{R})}$$

$$ |\psi⟩ = c_1|0⟩ + c_2|1⟩_{\forall c_1 \& c_2 \in \mathbb{C} } , |c_1|^2 + |c_2|^2 = 1$$

$$ ⟨0|0⟩ = \left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 1 \\ 0 \end{array}\right] = 1$$
$$ ⟨1|1⟩ = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 0 \\ 1 \end{array}\right] = 1$$ 

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