<h1><center><font color="yellow">微積分I ？？？(待補)</font></center></h1>
<h2 style="color:#D9B300">導論</h2>
- 施工中，敬請期待
<h2 style="color:#D9B300">實數完備性</h2>
- 這邊沒打好正在思考要不要再多加一個導論(這部分內容有點偏高微導論，讀者可以考慮是否跳過) 待待待補
- 實數完備性：對於所有在實數中的非空集只要有上界，就一定有最小上界。反之亦然。特別的，我們訂空集合的最小上界為 $-∞$ ；最大下界為 $+∞$ 。(註B-1)
- 最小上界與最大下界的表示法：給定一個屬於實數的非空集 $S$，我們以$sup(S)$ 表示為最小上界；以 $inf(S)$ 表示為最大下界。
- 待補(會加上Archimedean property, Ordered set, well-ordering principle, some property of ordered set, mathematical induction, and so on.)
- 一些例子：</br>
**1.** Find the infimum and supremum of each of the following sets.</br>
**a)** $E=\{ \ \ x\in \mathbb{R}\ \ |\ \ x=\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n}\ \ for\ \ n\in \ \ \mathbb{Z}\ \ \}$</br>
**b)** $E=\{ \ \ \frac{p}{q}\in \mathbb{Q}\ \ |\ \ 2p^2 <4q^2 \ \ for\ \ n\in \ \ \mathbb{Z}\ \ \}$</br>
**c)** $E=\{ \ \ x\in \mathbb{R} \ \ |\ \ 0<x\le 1\ \ \}$ </br>
**2.** 待補(some proof example)
- 註B-1：這其實很好理解，只要想像當我們任意地從空集合取值出來都會小於實數中任何的數，所以空集合的最小上界為 $-∞$ ，反之亦然。特別地，我們知道空集合中是抽不出值的，也就是說這個命題的前提是錯的，因此推導的結果就會是真，這個又被稱為空虛的真( $Vacuous$ $truth$ )。這也可以參照真值表。
- 一些真值表
參考資料：<Mathematical Reasoning: Writing and Proof, Version 2.1>
<h2 style="color:#D9B300">函數</h2>
- 定義域：就是自變數的取值範圍，我們喜歡用 $D$~f~ 表示。
- 值域：就是應變數的取值範圍，我們喜歡用 $Z$~f~ 或 $R$~f~ 表示。
- 對應域：就是一個包含了值域的範圍，符號你愛用什麼就用什麼。
- 函數：對於所有屬於定義域上的自變數，只要經過一種映射使得任意自變數都可以對應到唯一一個屬於值域上的應變數，則我們聲稱這種映射規則為函數。
.
- 函數的圖形：應該都會畫吧，就把點點出來大概連一下就可以了。
- 鉛錘線檢定法：國中應該都教過了，就是當曲線在 $x-y$ 座標平面下並且判斷其是否為函數圖形時，我們可以用一把尺以垂直 $x$ 軸或 $y$ 軸的方式掃過圖形，並檢視尺是否會對圖形形成割線或者是重合，若是會則此曲線非函數圖形。
- 函數的單調性：給定一個在區間I 上有定義的函數，並且存在有 $x$~1~ 與 $x$~2~ 屬於區間 $I$ 。若是 $x$~1~$>x$~2~ ，且 $f(x$~1~$)\ge f(x$~2~$)$ 則我們稱函數在區間 $I$ 上單調遞增；若是 $x$~1~$<x$~2~ ，且 $f(x$~1~$)\le f(x$~2~$)$ 則我們稱函數在區間 $I$ 上單調遞減。
- 函數的奇偶性：給定一個函數 $f:D$~f~ $→R$~f~ 若是 $f(-x)=f(x)$ 則稱為偶函數；若是 $f(-x)=-f(x)$ 則稱為奇函數。
- 一對一函數：給定一個函數 $f:D$~f~ $→Y$ ，對於所有 $x_1$ 與 $x_2$ 屬於 $D_f$ 並且 $x_1$ $\not=$ $x_2$ ，若是$f(x$~1~$)$ $\not=f(x$~2~$)$ 則我們稱其為一對一函數或是單射函數。(註1-1)
- 滿射函數：給定一個函數 $f:D$~f~ $→Y$ ，若是此函數的對應域與值域相等，也就是說 $Y=R$~f~ 則我們稱為滿射或是蓋射。(註1-2)
- 三角函數的性質：
- 一個好用的定理：對於所有的 $θ$ 屬於實數，我們有 $-|θ|≤sinθ≤|θ|$ 與 $-|θ|≤1-cosθ≤|θ|$
- 註1-1：通常我們在證明函數是否為單射時，會使用若「$f(x$~1~$)$ $=f(x$~2~$)$ 則 $x$~1~ $=x$~2~」這個敘述去證明。
- 註1-2：通常我們在證明函數是否為滿射時，會使用找反例或者是假設自變數的方式去證明。
- 補充：在線性代數中只要證明線性轉換 $T$ 的 $nullity$ 是 $0$，就可以說明 $T$ 是單射且滿射。
<h2 style="color:#D9B300">極限</h2>
- 趨近的概念：趨近是個很有意思的數學概念，這裡以一個例子做說明。假設有一天***Der lonng*** 想要追一個女生，雖然他有許多的先天優勢：像是很幽默、很有錢、很善良...。但是他有一個重大的缺陷，就是長太醜。以至於***Der lonng*** 看似要追到了，但卻因為長太醜所以永遠追不到。這時候他們兩人的關係是無限的曖昧，但兩人之間卻永遠無法交往。我們可以將***Der lonng*** 追女生追到無限曖昧的這個行為稱為趨近。（某個方面來說這個例子中的***Der lonng***有點像現實世界中的工具人，但又有些不一樣的地方在於工具人可能不會有被曖昧的狀態，在被曖昧這方面***Der lonng*** 像是贏過幾乎所有現實世界中的工具人？但感覺卻更可悲了。）
- 極限的概念：我們可以想像如果有一天從地 **O** 要去某個目的地 **A** 時，我們使用 Google Map 作為我們的導航，假設在前往地A的路途中有一個中繼站 **B**。顯然地，我們一定會在某個時刻 $t_0$ 恰巧經過中繼站 **B**，那我們可以說當時間趨近於 $t_0$ 時，我們的位置會趨近於中繼站 **B**。此時我們可以說中繼站 **B** 是時間趨近於 $t_0$ 時的位置極限值。（注意，當我們說時間趨近於 $t_0$ 時，代表我們考慮當時間無限的接近 $t_0$ 但不會剛好碰到 $t_0$ 的狀態，因此在這狀態下的位置是無限接近中繼站 **B**，但不會碰到中繼站 **B**。在數學中，時間是可以無限分割的，但在物理學中大多不支持這種用法，詳情請見 **阿基里斯悖論、芝諾悖論、潛無限與實無限**。）<br/> 範例圖：<br/>
- $∞$：請注意無窮大不是一個定值，而是一種程序。無窮大是一個點往某個特定方向一直跑的狀態。
- 數學上極限的粗略說法：若是當 $x$ 非常接近 $c$ 這個值時，$f(x)$ 也同時很接近 $L$ 這個定值。則我們說當 $x$ 接近 $c$ 這個值時，$f(x)$ 的極限值是 $L$。並記作： $\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=L$
- 極限：$If\ \ \displaystyle\lim_{x\to\ c} f(x)=L$ $then$ $\forall$ $\varepsilon>0$ $,\exists$ $\delta>0$ $s.t.\ \ if$ $0<|x-c|<\delta$ $\Rightarrow 0<|f(x)-L|<\varepsilon$ 這是極限的嚴格定義。在證明極限值中，證明寫法通常是要寫出 $\forall$ $\varepsilon>0$ $,\exists$ $\delta>0$ $s.t.\ \ if$ $0<|x-c|<δ ⇒0<|f(x)-L|<\varepsilon$ 這個形式作為結論，因此我們會很注重 $δ$ 的找法。
- 性質：我們將證明以下幾個性質。
令 $L$ ,$M$ ,$c$ 皆屬於實數，且$\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$, $\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=M$，則：</br>**1**. $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)+g(x)=L+M$</br>
**2**. $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)-g(x)=L-M$</br>
**3**. $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)g(x)=LM$</br>
**4**. $\displaystyle\lim_{x\to c}$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}$, $if\ \ M\not=0.$</br>
**5**. $\displaystyle\lim_{x\to c}[f(x)]^n=L^n$, $\displaystyle\lim_{x\to c}[f(x)]^\frac{1}{n}=L^\frac{1}{n}$, $if\ \ n\ \ is\ \ a\ \ positive\ \ integer.$ $( if\ \ n\ \ is\ \ even,\ \ we\ \ need\ \ f(x)>0\ \ in\ \ an\ \ interval\ \ containing\ \ c.)$</br>
**6**. 夾擠定理: $Suppose\ \ that\ \ g(x)\le f(x)\le h(x)\ \ for\ \ all\ \ x\ \ in\ \ an\ \ open$ $interval\ \ containing\ \ c,\ \ ,except\ \ possibly\ \ at\ \ x = c\ \ iteslf.\ \ If \ \ \displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=L$, $\displaystyle\lim_{x\to c}h(x)=L,\ \ then\ \ \displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L.$
**證明**：
- 這邊我們需要做一個重要的證明，即唯一性。並且補一些性質與例題，順便銜接下一章的連續性。</br>唯一性：假設 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L_1$ 與 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L_2,$ 那麼 $L_1=L_2.$
- 一些 $\varepsilon-\delta$ 證明與習題:
- $Landau$ 的大$O$ 與 小$o$ 記號:</br>
定義一：設 $\{f_n\},\ \ \{g_n\}$ 為兩個數列，若 $|\frac{f_n}{g_n}|\le M$ 當 $n>k,\ \ k\in \mathbb{N}$ 則我們記為 $f_n=O(g_n),\ \ n\rightarrow \infty .$</br>
定義二：設 $f(x),\ \ g(x)$ 為兩個函數，$|\frac{f(x)}{g(x)}|\le M$ 當 $x\rightarrow c$ 則我們記為 $f(x)=O(g(x)),\ \ x \rightarrow c.$</br>
讀法：當 $x$ 趨近於 $c$ 時， $f$ 相當於大$O$ 對 $g$ 作用。也可以說成：當 $x$ 趨近於 $c$ 時， $f$ 不強於 $g$ </br>
定義三：設 $\{f_n\},\ \ \{g_n\}$ 為兩個數列，若 $\frac{f_n}{g_n}\le 0$ 當 $n>k,\ \ k\in \mathbb{N}$ 則我們記為 $f_n=o(g_n),\ \ n\rightarrow \infty .$</br>
定義四：設 $f(x),\ \ g(x)$ 為兩個函數，$\frac{f(x)}{g(x)}\le 0$ 當 $x\rightarrow c$ 則我們記為 $f(x)=o(g(x)),\ \ x \rightarrow c.$</br>
讀法：當 $x$ 趨近於 $c$ 時， $f$ 相當於小$o$對 $g$ 作用。也可以說成：當 $x$ 趨近於 $c$ 時， $f$ 對 $g$ 而言，可以省略
- 補充：大$O$ 記號在之後做函數的近似還會再出現，而小$o$ 記號則是在某些書上的證明會用到，到那時我們會用小$o$ 記號表示高階無窮小量。
- 一些 大$O$ 與 小$o$ 的例子：
<h2 style="color:#D9B300">連續性</h2>
- 連續的概念：我們知道極限值的意義是當 $x$ 在某個有定義的點附近移動時，$f(x)$ 就會有走向另一個值的趨勢。由此，我們來討論連續性。我們可以想像一段繩子，這段繩子上沒有斷點，這時候我們會直觀的認為這段繩子是連續的吧。因此我們將這段沒有斷點的繩子抽象化，想像這段繩子是一個函數的圖形，那麼該怎麼把斷點抽象化呢？我們可以說在這個圖形上每一個點附近都一定有同函數的其他點，並且每一點都是存在的實點。因此我們可以說在這圖形上的每一點的極限值都是同一點的函數值。
- 連續性檢定：若是一個函數 $f$ 在 $c$ 點上連續，則必須滿足以下三點性質</br>
**1.** $f(c)$ 存在</br>
**2.** $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)$ 存在</br>
**3.** $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=f(c).$</br>
- 左/右極限：我們可以想像一個單變數函數，若是此函數在點 $c$ 上連續，則不管我們從 $c$ 的左側接近還是從 $c$ 的右側接近點 $c$，極限值都要等於 $f(c)$ ，那麼我們說從左側接近 $c$ 的極限值為左極限，反之亦然。
- 左/右極限的記號：</br>
左極限：$\displaystyle\lim_{x\to c^-}f(x)$</br>
右極限：$\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)$</br>
- 性質：以下證明可自行練習。
令函數 $f$,$g$ 在點$c$ 上連續，則以下函數在$c$點連續：</br>
**1.** $f\pm kg,\ \ for\ \ all\ \ k\in \mathbb{R}.$ </br>
**2.** $fg$；$\frac{f}{g},\ \ if\ \ g(c)\not= 0.$</br>
**3.** $f^n$；$f^\frac{1}{n},\ \ for\ \ n\in \ \ \mathbb{Z^+}$
- 合成函數的連續：若是 $f(x)$ 在 $c$ 點連續，且 $g(y)$ 也在 $f(c)$ 點連續，那麼 $(g\circ f)(x)$ 在 $c$ 點連續。</br>
補證明
- 介質定理的概念：早期數學家是默認介值定理的存在的，因為他與人們的直覺相符，更甚者有些數學家是用作圖的方式去支持他的。直到柯西提出使用代數的方法去論證他之前，其實是沒有數學家去作正式的證明的，雖然以現今的方式去看待柯西的證明會發現有些許的漏洞，但這仍是一個數學史上顯著的成就。以下是柯西證明的思路：考慮連續函數 $f$ ，$f(x_0)<0$, $f(X)>0$ 則存在一個自然數 $m$ 將 $x_0$ 與 $X$ 之間分成 $m$ 等分，接著我們能找到一個自然數 $n$ ，使得 $f(\frac{n(X-x_0)}{m})\le 0$ 且 $f(\frac{(n+1)(X-x_0)}{m})\ge 0$。我們命名 $\frac{n(X-x_0)}{m}=x_1$ 與 $\frac{(n+1)(X-x_0)}{m}=X_1$ ，我們重覆做相同程序，我們可以得到一個單調遞增數列 $x_0\le x_1\le x_2\le x_3\le \ \ ...$ 與一個單調遞減數列 $X\ge X_1\ge X_2\ge X_3\ge \ \ ...$ 並且我們有 $X_k - x_k =\frac{X-x_0}{m^k}$ 這時柯西認為存在有一個 $a$，使得 $\displaystyle\lim_{k\to \infty}X_k = a = \displaystyle\lim_{k\to \infty}x_k$ 接著柯西說 $a$ 屬於 $[ \ \ x_0\ \ ,\ \ X\ \ ]$ 並且根據連續性， $f(a)=0$，完成了證明。
內容與圖片參考來源：<William Dunham. 李伯民,汪軍,張懷勇 譯 微積分的歷程︰從牛頓到勒貝格>
- 介值定理：若是函數 $f$ 在閉區間 $[ \ \ a\ \ ,\ \ b\ \ ]$ 上連續，並且若是 $y_0$ 是 $f(a)$ 與 $f(b)$ 之間的任意值，那麼存在有 $c$ 屬於區間 $[ \ \ a\ \ ,\ \ b\ \ ]$ 使得 $f(c)=y_0$</br>
補證明
- 均勻連續：待補
- 一些習題與例子：
待補
<h2 style="color:#D9B300">漸進線</h2>
- 水平漸進線 (Horizontal asymptote)：若是 $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=L$ 或是 $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=L$ 則我們稱 $y=L$ 是 $y=f(x)$ 的水平漸進線。
- 垂直漸進線 (Vertical asymptote)：若是 $\displaystyle\lim_{x\to c^+}f(x)=\pm \infty$ 或是 $\displaystyle\lim_{x\to c^-}f(x)=\pm \infty$ 則我們稱 $x=c$ 是 $y=f(x)$ 的垂直漸進線。
- 斜漸進線 (oblique asymptote)：若是 $f(x)=ax+b+g(x)$ 並且 $\displaystyle\lim_{x\to \infty}g(x)=0$ 則我們稱 $y=ax+b$ 是 $y=f(x)$ 的斜漸進線。
- 一些例子與習題：待補(好懶哦窩好累
<h2 style="color:#D9B300">微分</h2>
- 導函數：假設有一個函數 $f：[\ \ a\ \ ,\ \ b\ \ ]\rightarrow \mathbb{R}$ 若是對於每一個 $x\in [\ \ a\ \ ,\ \ b\ \ ]$ , $\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 都存在，則我們說 $f'(x)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 是 $f(x)$ 的導函數。同時 $f'(x)$ 也可寫做 $\frac{df}{dx}$ . 顯然地，導函數可以視作原函數 $f$ 在各點上的切線斜率函數。
- 可微與連續性：若是函數 $f$ 在 $x=c$ 上可微，則函數 $f$ 在 $c$ 點連續。
證明待補
- 連續是否可微？
在 $[\ \ 0\ \ ,\ \ 1\ \ ]\times [\ \ 0\ \ ,\ \ 1\ \ ]$ 的方塊上是否存在某種曲線是處處連續卻處處不可導的？</br>
我們可以考慮當 $t\in [\ \ 0\ \ ,\ \ 1\ \ ]$ 有兩條連續函數 $x=f(t)\ \ ,\ \ y=g(t)$ 使得 $x\ \ ,\ \ y$ 取值於 $[\ \ 0\ \ ,\ \ 1\ \ ]\times [\ \ 0\ \ ,\ \ 1\ \ ]$ 方塊上的每一點，我們稱這種曲線為皮亞諾曲線（Peano curve），而這種曲線也延伸出了許多理論，像是碎形幾何。
<圖片出自維基百科>
- 一些導數性質：若是 $f\ \ ,\ \ g$ 皆為可導函數，並且 $k$ 屬於實數 </br>
**1.** $f(x)=k\ \ ,\ \ f'(x)=0$</br>
**2.** $(kf)'(x)=k(f'(x))$</br>
**3.** $(f\pm g)'(x)=(f'\pm g')(x)$</br>
**4.** $(fg)'(x)=(f'g+g'f)(x)$</br>
**5.** $(\frac{f}{g})'(x)=(\frac{gf'-fg'}{g^2})(x),\ \ if\ \ g(x)\not=0$
證明待補
- 觀念釐清：首先，當我們在問一個函數是否可"微"，並不是在說這個函數是否可以"微分"，而是在說這個函數是否可以"導微"或是說是否可以做"微分商"。事實上一個函數 $f$ 的微分其實是指 $df$ ，嚴格來說函數 $y=f(x)$ 在點 $c$ 處的微分 $dx$ 是指當 $x$ 在 $c$ 點附近無限小範圍內的改變量，微分 $dy$ 就是當 $y$ 在 $f(c)$ 點附近無限小範圍內的改變量。不過若是這麼定微分，我們會遇到一個大問題：</br>
考慮函數 $y=x^2$ 我們有 $\Delta y=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x +(\Delta x)^2$ 當 $\Delta x$ 為無限小範圍內的變化量時，我們可以說 $dy=2xdx+(dx)^2$ 並且 $\frac{dy}{dx}=2x+dx$ 這顯然與我們現今所用的 $\frac{dy}{dx}=2x$ 不一樣，倘若我們就說 $dx=0$ 那麼 $\frac{dy}{dx}$ 就會沒意義，這也是 **Rolle** 早期會反對微積分的主要原因。( **Rolle** 就是那個 **Rolle** 定理的 **Rolle** )</br>
因此我們改定任何變量 $s$ 的微分 $ds$ 是無限小範圍內變化量的主要部分，那麼由上述例子我們可以將 $\Delta y$ 拆成 $2x\Delta x$ 跟 $(\Delta x)^2$ 兩個部分，我們易知 $(\Delta x)^2=o(\Delta x)$ 那麼就可以改寫成 $dy=2x\Delta x$ 接著我們可以定義可微性：給定一個函數 $y=f(x)$ 若是 $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ 可以寫成 $\Delta y= A\Delta x+o(\Delta x)$，並且 $A$ 與 $\Delta x$ 無關，則我們可以說 $y$ 是可微的，並且可以改寫為 $dy=df=A\Delta x$ </br>
接著我們好奇可微與可導之間的關係，以下將證明可微性等價於可導性：假設函數 $y=f(x)$ 在 $x$ 處有可微性，那麼我們會有 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ 於是 $\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}=A$ 那麼從導數的定義我們有 $f'(x)=A$ 因此 $dy=f'(x)\Delta x$。反之，假設函數 $y=f(x)$ 在 $x$ 處有可導，則 $\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)$ 我們同樣有 $\Delta y=f'(x)\Delta x+o(\Delta x)$ 因為 $f'(x)$ 與 $\Delta x$ 無關，因此函數 $y=f(x)$ 具有可微性且 $dy=f'(x)\Delta x$ 接著我們考慮函數 $y=x$ 可導，那麼 $dy=dx=1\cdot \Delta x$ 從而得微分公式 $dy=f'(x)dx$
- 有趣的想法：
<h2 style="color:#D9B300">微積分歐趴</h2>
```
#####################################################
# #
# _oo0oo_ #
# o8888888o #
# 88" . "88 #
# 0\ = /0 #
# ___/`---'\___ #
# .' \\| |# '. #
# / \\||| : |||# \ #
# / _||||| -:- |||||- \ #
# | | \\\ - #/ | | #
# | \_| ''\---/'' |_/ | #
# \ .-\__ '-' ___/-. / #
# ___'. .' /--.--\ `. .'___ #
# ."" '< `.___\_<|>_/___.' >' "". #
# | | : `- \`.;`\ _ /`;.`/ - ` : | | #
# \ \ `_. \_ __\ /__ _/ .-` / / #
# =====`-.____`.___ \_____/___.-`___.-'===== #
# `=---=' #
# ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ #
# #
# 佛祖保佑 永無BUG #
# #
#####################################################
```
###### tags: `數學`
{%hackmd /@HIPP0/Hippotumuxthem %}
Sign in with Wallet
Connect another wallet