# 線性代數I
要死掉了
## 體(fields) 這邊能跳過

### 介紹

定義: 非正式的說，體是一種集合，集合中可以做加法和乘法，對任意的元素a有著加法反元素-a，對所有非零的b元素有乘法反元素 ${\displaystyle b^{-1}}$

而體是一種交換環(F, +, *)，當中加法單位元素不等於乘法單位元素，且所有非零元素有乘法反元素。更簡單講就是：體是可交換除環。
(除環) 比如說，對於${\displaystyle x}$來說，存在數${\displaystyle a}$，使得 ${\displaystyle a\cdot x=x\cdot a=1}$

*(addtion)*
$F$ X $F$ $\rightarrow$ $F$
(a,b) $\mapsto$ a + b

*(multiplication)*
$F$ X $F$ $\rightarrow$ $F$
(a,b) $\mapsto$ a x b

### 性質

- $\forall$ a,b,c $\in$ $F$ , (a+b)+c = a+(b+c) <font color="red">(結合律)</font>
- $\forall$ a,b $\in$ $F$ , a+b = b+a <font color="red">(交換律)</font>
- $\exists$ $\underline{0}$ $\in$ $F$, s.t. $\forall$ a $\in$ $F$, a+$\underline{0}$ = $\underline{0}$ + a = a.
- $\forall$ a $\in$ $F$, $\exists$ b$\in$$F$ s.t. a+b=b+a=$\underline{0}$
- $\forall$ a,b,c $\in$ $F$, (a x b) x c = a x (b x c) <font color="red">(結合律)</font>
- $\forall$ a,b $\in$ $F$, a x b = b x a <font color="red">(結合律)</font>
- $\exists$ $\underline{1}$ $\in$ $F$ \ {$\underline{0}$}, s.t. $\forall$ a $\in$ $F$, a x $\underline{1}$ = $\underline{1}$ x a
- $\forall$ a $\in$ $F$ \ {$\underline{0}$}, $\exists$ b$\in$ $F$ \ {$\underline{0}$}, s.t. a x b = b x a = $\underline{1}$
- $\forall$ a,b,c $\in$ $F$ ,(a+b) x c = (a x c) + (b x c) and c x (a + b) = (c x a) + (c x b)

### 練習:
[練習題目](https://hackmd.io/@HIPP0/S1l0wttGj)
[解答(待補 好懶..)](https://hackmd.io/@HIPP0/SJWWk5FMs)

## 向量空間 (vector space )

### 介紹
向量空間是現代數學中的一個基本概念，是線性代數研究的基本物件，是指一組向量及相關的運算即向量加法，標量乘法，以及對運算的一些限制如封閉性，結合律。

*(vector addtion)*
$V$ + $V$ $\rightarrow$ $V$
($\vec{u}$,$\vec{w}$) $\mapsto$ $\vec{u}$ + $\vec{w}$

*(multiplication)*
$F$ x $V$ $\rightarrow$ $V$
(c,$\vec{u}$) $\mapsto$ c ⋅ $\vec{u}$

### 性質(若是vectorspace 須符合A1~S4)
- <font color = "red">A1 : </font> $\forall$ $\vec{u}$,$\vec{w}$ $\in$ $V$ : $\vec{u}$+$\vec{w}$ = $\vec{w}$+$\vec{u}$
- <font color = "red">A2 : </font> $\forall$ $\vec{u}$,$\vec{v}$,$\vec{w}$ $\in$ $V$ : ($\vec{u}$+$\vec{v}$)+$\vec{w}$ = $\vec{u}$+($\vec{v}$+$\vec{w}$)
- <font color = "red">A3 : </font> $\forall$ $\vec{u}$ $\in$ $V$, $\vec{u}$ + $\vec{0}$ = $\vec{0}$ + $\vec{u}$ = $\vec{u}$
- <font color = "red">A4 : </font> $\forall$ $\vec{u}$ $\in$ $V$ , $\exists$ $\vec{w}$ $\in$ $V$ s.t. $\vec{u}$ + $\vec{w}$ = $\vec{0}$
- <font color = "red">S1 : </font> $\forall$ $\vec{u}$ $\in$ $V$ , 1 ⋅ $\vec{u}$ = $\vec{u}$ ⋅ 1 = $\vec{u}$
- <font color = "red">S2 : </font> $\forall$ a,b $\in$ $F$ , $\forall$ $\vec{u}$ $\in$ $V$ , (ab)$\vec{u}$ = a$\vec{u}$ ⋅ b$\vec{u}$
- <font color = "red">S3 : </font> $\forall$ a,b $\in$ $F$, $\vec{u}$ $\in$ $V$ , (a+b) ⋅ $\vec{u}$ = a$\vec{u}$ ⋅ b$\vec{u}$
- <font color = "red">S4 : </font> $\forall$ a $\in$ $F$ , $\vec{u}$,$\vec{w}$ $\in$ $V$ , a ⋅ ($\vec{u}$+$\vec{w}$) = a$\vec{u}$ + a$\vec{w}$

<font color = "red">上面請務必記熟</font>

## 線性子空間(subspace)
### subspace (重要!)
設V是vector space
若W為V的subspace
W需要符合三個原則
- ST1: $\vec{0}$ $\in$ $\vec{W}$
- ST2: Let $\vec{u}$ $\in$ $\vec{W}$ , $\vec{w}$ $\in$ $\vec{W}$ s.t. $\vec{u}$+$\vec{w}$ $\in$ $\vec{W}$
- ST3: Let c $\in$ $F$ and $\vec{v}$ $\in$ $\vec{W}$ s.t. c$\vec{u}$ $\in$ $\vec{W}$

(0向量在其中，自己的加乘還是自己)

### 直和(direct sum)
設V是vector space , W1和W2是V的subspace (!!必須是subspace)
若要成立 V = W1⊕W2 (稱V為W1與W2的direct sum):
- V = W1+W2 (W1+W2需要在V裡面)
- W1 $\cap$ W2 = {0} 交集只能有0向量
注意 {0}並不是空集合

## 線性生成空間 (Linear span)
### 介紹
所有包含這個集合的線性子空間的交集
例如，(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)這三個向量可以做加乘而得到整個三維空間
稱span( { (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0) } ) = $\mathbb{R}^3$

如果S = {$v_1$,$v_2$,...$v_n$} , span(S) = V
則其中的 k $\in$ V , K = $a_1$$v_1$+$a_2$$v_2$+...$a_n$$v_n$ ( a$\in$ $F$ )

以上面的例子來看，(5,7,4)在三維空間中
所以(5,7,4)就可以經由 4(0,0,1)+7(0,1,0)+5(1,0,0)而來

## 線性獨立或相關 (Linear in/dependent)

### 介紹
在線性代數裡，向量空間的一組元素中，若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示，則稱為線性獨立（linearly independent），反之稱為線性相關（linearly dependent）

### 定義
$a_1$$v_1$+$a_2$$v_2$+...+$a_n$$v_n$ = 0的時候，若存在唯一解$a_1$= $a_2$= ...= $a_n$= 0 稱為線性獨立(L independent)
反之則相關

以上面的例子來看，$a_1$= $a_2$= $a_3$ 必須要是0才能形成(0,0,0)所以S線性獨立
若再加一個(0,0,2)使得S2 = { (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (0,0,2) }
$a_1$(0,0,1)+$a_2$(0,1,0)+$a_3$(1,0,0)+$a_4$(0,0,2) = (0,0,0)
則$a_1$...$a_4$不存在唯一解=0，所以S2相依。

## 向量空間的基底(basis)
### 介紹
在線性代數中，基(basis)（也稱為基底）是描述、刻畫向量空間的基本工具。向量空間的基是它的一個特殊的子集，基的元素稱為基向量。向量空間中任意一個元素，都可以唯一地表示成基向量的線性組合。如果基中元素個數有限，就稱向量空間為有限維向量空間，將元素的個數稱作向量空間的維數。

### 定義
S要成為一個向量空間V的基底須符合:
- S線性獨立
- span(S) = V

再以剛剛的例子來看 S = { (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0) } 這三者線性獨立，同時span(S)會是整個三維空間 所以S就會是三維空間的其中一個基底
(註: S這樣的元素只有1個1其他都是0所組成的基底，稱為標準基底standard basis)

而S2 = { (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (0,0,2) } 很明顯的就不是標準基底。

## 向量空間的維度(dimention)
### 介紹:
數學中, 向量空間 V 的維數是 V 的基底的勢，即基底中向量的個數。所以向量空間的維數是唯一併確定的,通常記為 dim(V) 或#V
以上述例子來看
dim($\mathbb{R}^3$) = 3 , #S = 3 , #S2 = 4

<strong>注意</strong>: 零向量的個數要算0 : dim({$\vec{0}$}) = 0;
因為0在span裡面根本沒做到事情，例如 S = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(0,0,0)}
則(a,b,c) = a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) 零可以忽略
所以dim(S) = 3 而不是 4

### basis和維度
若S是V的基底向量，則dim(S)=dim(V)。

/還記得怎麼成為basis嗎?
須符合兩點: 線性獨立 和 span(S)=V

### 置換定理(Replacement Theorem)
若S和T 是 V的子集
若S是一個V的基底，T是linear independent
#S >= #T
存在一個S'$\in$ S , #S'= #S - #T
使得span(S'$\cup$ T) = V

解說:
例如(0,1,0), (0,0,1)兩者線性獨立，但不一定能span全部 , 而(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)是一個三維空間的基底，個數>前者
所以可以找的到(1,0,0)在S裡面不在T裡面，加入的個數=S個數-T的個數(簡單說就是缺少的個數) 可以使得span(S)=$\mathbb{R}^3$

而這樣也能證明上面的basis的個數=維度的個數，因為basis本身就是組成一個維度的最低需求

## 線性映射/轉換(Linear transformations)
### 介紹:
在數學中，在兩個向量空間（包括由函數構成的抽象的向量空間）之間的一種保持向量加法和純量乘法的特殊映射。
圖例來看 把ABC做轉換得到新的三角形

### 定義:
假設U和V是vector space. 一個線性轉換從U到V是一個函數 T : U$\to$V
這個T會滿足
- $\forall$ $\vec{u1}$,$\vec{u2}$ $\in$ U 則 T($\vec{u1}$+$\vec{u2}$) = T($\vec{u1}$)+T($\vec{u2}$)
- $\forall$ a $\in$ $F$, $\vec{u}$ $\in$ U 則 T(a$\vec{u}$) = aT($\vec{u}$)

檢測時:可以合併用 T(a$\vec{u1}$+$\vec{u2}$) = aT($\vec{u1}$)+T($\vec{u2}$)

## 維度(前面也有提到，這邊加入轉換T)

### Nullity 和 Rank
- N(T) = { $\vec{u}$ $\in$ U : T($\vec{u}$) = $\vec{0}$ }
- R(T) = { T($\vec{u}$) : $\vec{u}$ $\in$ U}

看起來似乎有點複雜，簡單說
N(T) 就是收集所有經過transform等於0的元素
R(T) 蒐集所有經過轉換完的元素

Nullity 就是 N(T)的維度 = dim(N(T))
Rank 就是R(T)的維度 = dim(R(T))
<strong>注意: R(T)裡面會有0，但是再算維度的時候0不會算進去(看之前的維度部分)</strong>

### Injection(嵌射) Surjection(蓋射) Bijection(對射)
介紹這三種 :
- injection: one to one (一對一函數)

- surjection: onto (Y和f的值域相同)

- bijection: one to one and onto (一對一且Y和f的值域相同)

nullity 和 rank 跟 T 個關係
- T is injective if and only if N(T) = {$\vec{0}$}
- T is surjective if and ony if R(T) = V

### Dimention Theorem (置換定理) 非常非常重要
T : U $\to$ V (T把U轉換至V)
定義: dim(U)=nullity(T)+rank(T)

定理: Let T : U $\to$ V 在有限維度的向量空間中
若 dim(U) = dim(V)
則 T 是 injective if and only if T 是 surjective

### 存在性定理(Existence Theorem)
假設{$u_1$, $u_2$ ... $u_n$}是U的基底 , n = dim(U)
則 對於所有 $v_1$, $v_2$ ... $v_n$ $\in$ V ,存在<font color = "red">唯一</font>的線性轉換 T : U $\to$ V
使得 T($v_i$) = $v_i$ (對於所有 1<=i<=n)

## 座標映射(coordinate mapping)
設V是一個有限維度的向量空間
- 首先把一個基底給做排序，例如$\mathbb{R}^3$ 的其中一個基底{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
令$v_1$ = (1,0,0) , $v_2$=(0,1,0) $v_3$=(0,0,1) 則排序完的基底={$v_1$,$v_2$,$v_3$};
- 所以假設B={$v_1$,$v_2$...$v_n$}是V一個排序好的基底且n=dim(V).
對於任一 w $\in$ V,可以"唯一"表達 w = $\sum_{i=0}^n a_iv_i$
則向量座標$[V]_B$ 根據排序基底定義為行向量($a_1$, $a_2$ ... $a_n$)

###### tags: `數學`
{%hackmd aPqG0f7uS3CSdeXvHSYQKQ %}