# Cálculo Vectorial (Clase 2)

Se pretende demostrar la importancia de ver a los vectores y sus operaciones desde dos puntos de vista, destacando a la suma de vectores, el producto escalar y el producto vectorial o cruz.

[ToC]

## Tema 1: Vectores
### 1.1 Vectores en dos y tres dimensiones
Vectores como un concepto con dos perspectivas: *algebraico* y *geométrico*

#### Vectores en $\mathbb R^2$ y $\mathbb R^3$: Concepto algebraico

Un vector en $\mathbb R^2$ es un par ordenado de números reales: $\overrightarrow a= \textbf{a} = (a_1,a_2)$
Un vector en $\mathbb R^3$ es una tripleta ordenada de números reales: $\overrightarrow a = \textbf a = (a_1,a_2,a_3)$

Dos vectores $\overrightarrow a = (a_1,a_2)$ y $\overrightarrow b = (b_1,b_2)$ en $\mathbb R^2$ son iguales si sus componentes correspondientes son iguales, es decir, si $a_1=b_1$ y $a_2=b_2$

Para $\mathbb R^3$, si $a_1=b_1, a_2=b_2, a_3=b_3$

#### Ejemplo

$\textbf{a}=(1,2)$ y $\textbf{b}=(3/3,6/3)$ son iguales en $\mathbb R^2$
pero $\textbf{c}=(1,2,3)$ y $\textbf{d}=(2,3,1)$ no lo son en $\mathbb R^3$ ♦

#### Suma de vectores

Sean $\textbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$ y $\textbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$ dos vectores en $\mathbb R^3$. Entonces la suma de los vectores $\textbf{a}+\textbf{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$

#### Ejemplo:

En $\mathbb R^2$, $(1,1)+(π,√2)=(1+π,1+√2)$
En $\mathbb R^3$, $(0,1,3)+(7,-2,10)=(7,-1,13)$ ♦

#### Propiedades:

$\textbf{a}+\textbf{b}=\textbf{b}+\textbf{a}$ para todo $\textbf{a}$ y $\textbf{b}$ en $\mathbb R^3$ (conmutatividad)
$\textbf{a}+(\textbf{b}+\textbf{c})=(\textbf{a}+\textbf{b})+\textbf{c}$ para todo $\textbf{a}$,$\textbf{b}$,$\textbf{c}$ en $\mathbb R^3$ (asociatividad)
vector cero $\textbf{a}+\textbf{0}=\textbf{a}$ para toda $\textbf{a}$ en $\mathbb R^3$ (donde $\textbf{0}=(0,0,0)$)

#### Multiplicación por un escalar

Sea $\textbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$ un vector en $\mathbb R^3$ y $k \in \mathbb R$ un escalar. Entonces el producto escalar $k\textbf{a}=(ka_1,ka_2,ka_3)$

#### Ejemplo:

En $\mathbb R^3$, $\textbf{a}=(2,0,\sqrt{2})$ y $k=7$, entonces $k\textbf{a}=(7\cdot2,7\cdot0,7\cdot\sqrt{2})=(14,0,7\sqrt{2})$ ♦

#### Propiedades:

$(k+l)\textbf{a}=k\textbf{a}+l\textbf{a}$ (propiedad distributiva)
$k(\textbf{a}+\textbf{b})=k\textbf{a}+k\textbf{b}$ (propiedad distributiva)
$k(l\textbf{a})=(kl)\textbf{a}=l(k\textbf{a})$

Ninguna de estas definiciones o propiedades depende realmente de la dimensión, es decir, el número de componentes del vector.

Vector $\mathbb R^n$ como una $n$-tupla ordenada $(a_1,a_2,⋯,a_n)$

#### Vectores en $\mathbb R^2$ y $\mathbb R^3$: Concepto geométrico

El hecho de que un vector $\textbf{a}$ en $\mathbb R^2$ sea un par de números reales $(a_1,a_2)$ hace pensar en las coordenadas de un punto en $\mathbb R^2$.

De manera similar, si $\textbf{a} \in \mathbb R^3$ entonces la tripleta se puede considerar como las coordenadas en un punto en $\mathbb R^3$

![Punto coordenado en R2](https://i.stack.imgur.com/HLpeI.png "Grafica de un par coordenado" =300x300)![Punto coordenado en R3](http://www.mathwords.com/t/t_assets/three_dimensional_coordinate_example.gif "Grafica de una tripleta coordenada" =300x300)

Todo esto está muy bien, pero los resultados de efectuar la suma de vectores o la multiplicación por un escalar no tienen una interpretación geométrica interesante o significativa en términos de puntos.

Es mejor visualizar un vector en $\mathbb R^2$ o $\mathbb R^3$ como una flecha que comienza en el origen y termina en el punto en cuestión.

*Conectar tableta y dibujar la recta*

![Punto coordenado en R2](https://i.stack.imgur.com/HLpeI.png "Grafica de un par coordenado" =300x300)![Punto coordenado en R3](http://www.mathwords.com/t/t_assets/three_dimensional_coordinate_example.gif "Grafica de una tripleta coordenada" =300x300)

Es frecuente que se haga referencia a esa visualización como vector de posición del punto $(a_1,a_2)$ o $(a_1,a_2,a_3)$ *Escribir como lo denotamos*

**En física**: vectores que son descritos como objetos que tienen magnitud y dirección. *Magnitud*: longitud de la flecha. *dirección*: orientación o sentido de la flecha (**la única excepción es el vector 0**)

No se requiere que todos los vectores se representen con flechas que salgan del origen: existe la libertad de "trasladar en forma paralela" a los vectores tanto en $\mathbb R^2$ como en $\mathbb R^3$.

Es decir, el vector se podría representar con una flecha con su inicio en el origen y su punta en $(a_1,a_2,a_3)$ o en cualquier otro punto, siempre y cuando la longitud y sentido de la flecha permanezcan sin cambio.

![Traslación de vectores](https://i.imgur.com/jmKLecX.jpg "Traslación de vectores" =300x300)

Por ejemplo si queremos representar **a** con una flecha con su inicio en el punto $(x_1,x_2,x_3)$, entonces la punta de la flecha estaría en el punto $(x_1+a_1,x_2+a_2,x_3+a_3)$

Con esta descripción geométrica de los vectores, su suma se puede visualizar de dos formas:
<ol>
<li>El Método de la punta al inicio y</li>
<li>Ley del Paralelogramo</li>
</ol>

La diagonal descrita es el resultado de sumar **a** más (la trancisión de) **b**.

Aún falta verificar que estas construcciones geométricas concuerden con nuestra definición algebraica.

La multiplicación escalar es más fácil de visualizar: el vector $k\textbf{a}$ se representa con una flecha cuya longitud es |$k$| veces la longitud de **a** y cuya dirección es la misma que la de **a** cuando $k>0$, y la contraria cuando $k<0$

El vector $\textbf{a}-\textbf{b}$ se puede representar con una flecha cuya punta va de la punta de **b** hasta el inicio de **a**

Dados dos puntos $\textbf{P}_1(x_1,y_1,z_1)$ y $\textbf{P}_2(x_2,y_2,z_2)$ en $\mathbb R^3$ el vector de desplazamiento de $\textbf{P}_1$ a $\textbf{P}_2$ es $$\textbf{P}_1\textbf{P}_2=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$$

### 1.2 Más cerca de los vectores

#### Vectores básicos estándar

*(Poner atención en esta parte ya que Angel lo ocupará para su lección de Componentes de Funciones)*

En $\mathbb R^2$ los vectores **i**$=(1,0)$ y **j**$=(0,1)$ desempeñan un papel especial respecto de la notación. Cualquier vector **a**$=(a_1,a_2)$ se puede escribir en terminos de **i** y **j** por medio de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar $$(a_1,a_2)=(a_1,0)+(0,a_2)=a_1(1,0)+a_2(0,1)=a_1\textbf{i}+a_2\textbf{j}$$

La notacion **ij** en general es util para hacer énfasis en la naturaleza "vectorial" de **a**, mientras que la notación con coordenadas es más útil para enfatizar la naturaleza de punto de **a**.

Geométricamente, la significación de los vectores básicos estándar **i** y **j** es que un vector arbitrario **a**$\in \mathbb R^2$ se puede descomponer graficamente en sus componentes vectoriales.

Exactamente la misma situación ocurre en $\mathbb R^3$, solo que ahora necesitamos tres vectores **i**$=(1,0,0)$, **j**$=(0,1,0)$, y **k**$=(0,0,1)$ para formar la base estándar.

Cualquier vector $\textbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$ tambien se puede escribir como $a_1\textbf{i}+a_2\textbf{j}+a_3\textbf{k}$

#### Ejemplo 1

El vector $(1,-2)$ se escribe como $\textbf{i}-2\textbf{j}$ y el vector $(7,\pi,-3)$ como $7\textbf{i}+\pi \textbf{j}-3\textbf{k}$♦

#### Ecuaciones paramétricas de rectas

En $\mathbb R^2$ sabemos que ecuaciones de la forma $y=\texttt{m}x+\texttt{b}$ o $Ax+By=C$ describen lineas rectas.

En consecuencia, sería de esperar que el mismo tipo de ecuacion definiera a una recta en $\mathbb R^3$, pero una sola ecuacion lineal como las mencionadas describe un plano y no una recta. Para definir una recta se requiere un par de ecuaciones simultaneas en $x$, $y$ y $z$.

Como se utilizan los vectores para dar conjuntos de ecuaciones paramétricas de rectas en $\mathbb R^2$ o $\mathbb R^3$ (o incluso $\mathbb R^n$)

Una curva en el plano se describe analiticamente por los puntos $(x,y)$, donde $x$ y $y$ están dadas como funciones de una tercera variable, (el parámetro) $t$. Estas funciones dan lugar a las ecuaciones parametricas de la curva $$x=f(t)$$$$y=g(t)$$ Las ecuaciones parametricas se utilizan con facilidad para describir curvas en $\mathbb R^3$; una curva en $\mathbb R^3$ es el conjunto de puntos $(x,y,z)$ cuyas coordenadas $x$,$y$ y $z$ son dadas cada una por una funcion de $t$: $$x=f(t)$$$$y=g(t)$$$$z=h(t)$$ Las ventajas de usar ecuaciones parametricas son dos:

<ol><li>Manera uniforme de describir curvas en cualquier número de dimensiones, y</li><li>Permiten obtener una percepción dinámica de la curva si se considera que la variable paramétrica <i>t</i> representa el tiempo y se imagina que una partícula se mueve a lo largo de la curva con el tiempo de acuerdo con las ecuaciones paramétricas dadas. Esto se puede representar geométricamente asignando una dirección a la curva para representar una <i>t</i> creciente. </li></ol>

Ahora veremos como obtener ecuaciones de rectas. Una recta en $\mathbb R^2$ o $\mathbb R^3$ es determinada únicamente por dos elementos de informacion geometrica:

<ol>
<li>Un vector cuya dirección es paralela a la recta, y</li>
<li>Cualquier punto particular que este sobre la recta.</li>
</ol>

Se define el vector $$\textbf{r}=\overrightarrow{OP}$$

entre el origen $O$ y un punto arbitrario $P$ sobre la recta l (es decir, el vector de posición de $P(x,y,z)$), $\overrightarrow{OP}$ es la suma vectorial del vector de posición **b** del punto dado $P_0$ (es decir $\overrightarrow{OP_0}$) y un vector paralelo a **a**). Cualquier vector paralelo a **a** debe ser un múltiplo escalar de **a**. Si se hace que este escalar sea la variable parametrica $t$, se tiene que $$r=\overrightarrow{OP}=OP0+ta$$

Por lo tanto, la ecuación paramétrica vectorial para la recta que pasa por el punto $P_0(b_1,b_2,b_3)$, cuyo vector de posición es $OP_0=\textbf{b}=b_1\textbf{i}+b_2\textbf{j}+b_3\textbf{k}$, y es paralela a $\textbf{a}=a_1\textbf{i}+a_2\textbf{j}+a_3\textbf{k}$ es $$\textbf{r}(t)=\textbf{b}+t\textbf{a}$$

**(Atencion otra vez aqui ^ :D lo utilizaremos en la recta tangente)**

En general, dados dos puntos arbitrarios $$P_0(a_1,a_2,a_3)$$ y $$P_1(b_1,b_2,b_3)$$

la recta que los une tiene la ecuación vectorial paramétrica siguiente: $$r(t)=\overrightarrow{OP_0}+t\overrightarrow{P_0P_1}$$

La ecuación anterior da las ecuaciones paramétricas: $$x=a_1+(b_1-a_1)t$$$$y=a_2+(b_2-a_2)t$$$$z=a_3+(b_3-a_3)t$$

De manera alternativa, en lugar de dicha ecuación, podría utilizarse la ecuación vectorial $$\textbf{r}(t)=\overrightarrow{OP_1}+t\overrightarrow{P_0P_1}$$ o $$\textbf{r}(t)=\overrightarrow{OP_1}+t\overrightarrow{P_1P_0}$$

cada una de las cuales da lugar a conjuntos de ecuaciones paramétricas algo diferentes, por lo tanto, las ecuaciones paramétricas para una recta (o en general para cualquier curva) nunca son únicas.

Si las ecuaciones paramétricas no están determinadas en forma única, entonces, ¿cómo podría comprobarse que el resultado es correcto? **Utilizando la formula paramétrica**

#### Aplicaciones

<ul>
<li>Ecuación>Ecuación de la recta que pasa por un punto</li>
<li>Ecuación de una recta que pasa por dos puntos (ambos distintos del origen)</li>
<li>Cicloide</li>

</ul>

### 1.3 El producto punto

Tambien conocido como producto interno euclidiano, que se define para dos vectores en $\mathbb R^n$ (donde $n$ es arbitraria)

Sean $\textbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$ y $\textbf{b}=(b_1,b_2,b_3)$ dos vectores en $\mathbb R^3$. El producto punto (o interno o escalar) de **a** y **b** se denota con **a**$\cdot$**b** y es $$\textbf{a}\cdot b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$

En R2 la definicion analoga es $$a\cdot b = a_1b_1+a_2b_2$$

donde a=(a1,b1) y b=(b1,b2),

#### Ejemplo

En $\mathbb R^3$ se tiene lo siguiente:

$$(1,-2,5)\cdot(2,1,3)=(1)(2)+(-2)(1)+(5)(3)=15$$ $$(3\textbf{i}+2\textbf{j}-\textbf{k})\cdot(\textbf{i}-2\textbf{k})=(3)(1)+(2)(0)+(-1)(-2)=5$$♦

Como su nombre lo indica, el producto punto, o escalar, toma dos vectores y produce un solo número real (no un vector).

#### Propiedades

Si **a**,**b** y **c** son vectores cualesquiera en $\mathbb R^3$ (o $\mathbb R^2$) y $k \in \mathbb R$ es cualesquier escalar, entonces:

**a**$\cdot$**a** $\geq 0$ y **a**$\cdot$**a** $=0$ sii $a$=$0$;
**a**$\cdot$**b**=**b**$\cdot$**a**;
**a**$\cdot$**(b+c)**=**a**$\cdot$**b**+**a**$\cdot$**c**;
$(k\textbf{a})\cdot \textbf{b}=k(\textbf{a}\cdot\textbf{b})=\textbf{a}\cdot(k\textbf{b})$

Hasta el momento hemos presentado el producto punto de dos vectores como una mera construcción algebráica.

#### Definición

Si a=(a1,a2,a3), entonces la longitud de a (también llamada norma o magnitud) se denota con ||a|| y es $\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Si dibujamos a como el vector de posición del punto (a_1,a_2,a_3), entonces la longitud de la flecha del origen a(a_1,a_2,a_3) es $$\sqrt{{(a_1-0)}^2 + {(a_2-0)}^2 + {(a_3-0)}^2}$$ según la fórmula de la distancia, que no es más que una extension del teorema de Pitágoras en el plano. Como acabamos de ver, $a\cdot a = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$, y se tiene que $$||a||=\sqrt{a\cdot a}$$ o en su forma equivalente, $$a\cdot a=||a||^2$$

Ahora estamos listos para establecer el resultado principal relacionado con la geometría del producto punto. Si a y b son dos vectores diferentes de cero en R3 (o en R2), dibujados con sus inicios en el mismo punto, sea $\theta$ donde 0 $\leq \theta \leq pi$ es el ángulo entre a y b. Si a o b es el vector cero, entonces $\theta$ es indeterminado, lo cual significa que puede ser cualquier ángulo.

$$a\cdot b = ||a|| ||b||cos\theta$$

$$\theta=cos^{-1}\frac{a\cdot b}{||a|| ||b||}$$

### 1.4 El producto cruz

Tambien conocido como producto vectorial, que se define *solo* para vectores en $\mathbb R^3$

El producto cruz de dos vectores en $\mathbb R^3$ es un producto "honesto" en el sentido que toma dos vectores y produce un tercero. Tiene algunas propiedades curiosas (*no es posible* definirlo para vectores en $\mathbb R^2$ sin incrustrarlas primero en $\mathbb R^3$ de alguna manera)

Comenzaremos por definirlo geometricamente y luego lo deduciremos algebraicamente

#### Definición

Sean a y b dos vectores en R3 (no en R2). El producto cruz (o producto vectorial) de a y b se denota $a \times b$, y es el vector cuya longitud y dirección son dadas como sigue:

La longitud de a\times es el área del paralelogramo determinado por a y b, o es cero si a es paralelo a b o si b es el vector 0.

$||a \times b|| = ||a|| ||b|| sen\theta$

Aplicaciones:

Matrices y determinantes
Areas y volumenes
Rotacion de un cuerpo rígido