# Cálculo Vectorial (Clase 3)

[ToC]

## Diferenciación de varias variables

### Regla de la Cadena

Entre las diversas propiedades que satisface la derivada, una notable tanto por su utilidad como por su sutileza es el comportamiento de la derivada con respecto de la composición de funciones. Este comportamiento es descrito por una fórmula conocida como **regla de la cadena**.

*Ejemplo 1*

En general, suponga que $X$ y $T$ son subconjuntos abiertos de $\mathbb R$ y $f$:$X\subseteq\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ y $x:T\subseteq\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ son funciones definidas de modo que la función compuesta $f\circ x: T \rightarrow \mathbb R$ tiene sentido. En particular, esto significa que el rango de la función $x$ debe estar contenido en el dominio $X$ de $f$ con el fin de que la composición $f\circ x$ sea definida.

**Teorema: La regla de la cadena de una variable:**

Si $x$ es diferenciable en $t_0 \in T$ y $f$ es diferenciable en $x_0=x(t_0) \in X$, entonces la composición $f\circ x$ es diferenciable en $t_0$ y, además,$$(f\circ x)'=f'(x_0)x'(t_0)$$

Una manera más común de escribir la fórmula de la regla de la cadena en el teorema anterior es

$$\frac{df}{dt}(t_0)=\frac{df}{dx}(x_0)\frac{dx}{dt}(t_0)$$

Aunque la ecuación anterior es más útil en la práctica, representa un abuso desafortunado de la notación el hecho que el símbolo $f$ se utilice para denotar tanto una función de $x$ como una de $t$. Pero este abuso de la notación es conveniente, ya que evita la dificultad de tener demasiados nombres de variables en un análisis dado.

$$y(t)=(f\circ x)(t)$$ $$\frac{dy}{dt}=\frac{df}{dx}\frac{dx}{dt}$$

La regla de la cadena dice lo siguiente: Para entender la forma en que $f$ depende de $t$, debemos saber cómo depende $f$ de la "variable intermedia" $x$, y cómo esta a su vez depende de la variable "final" independiente $t$.

Ahora supondremos que $f:X\subseteq\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R$ es una función $C^1$ de dos variables y $\textbf{x}:T\subseteq \mathbb R\rightarrow \mathbb R^2$ es una función de una sola variable vectorial diferenciable. Si el rango de $\textbf{x}$ está contenido en $X$, entonces la composición $f\circ \textbf{x}:T\subseteq\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ está definida. Es bueno pensar que $\textbf{x}$ describe una curva paramétrica en $\mathbb R^2$ y que $f$ es un tipo de "función de temperatura" sobre $X$. Entonces, la composición $f\circ \textbf{x}$ no es otra cosa que la restricción de $f$ para la curva (es decir, la función que mide la temperatura a lo largo de la curva).

**PROPOSICIÓN** Suponga que $\textbf{x}:T\subseteq \mathbb R\rightarrow \mathbb R^2$ es diferenciable en $t_0\in T$, y que $f:X \subseteq \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$ es diferenciable en $\textbf{x}_0=\textbf{x}(t_0)=(x_0,y_0) \in X$, donde $T$ y $X$ son abiertos en $\mathbb R$ y $\mathbb R^2$, respectivamente y el rango de $\textbf{x}$ está contenido en $X$. Si, además, $f$ es de clase $C^1$, entonces, $f\circ \textbf{x}:T\rightarrow \mathbb R$ es diferenciable en $t_0$ y $$\frac{df}{dt}(t_0)=\frac{df}{dx}(\textbf{x}_0)\frac{dx}{dt}(t_0)+\frac{df}{dy}(\textbf{x}_0)\frac{dy}{dt}(t_0)$$

La proposición es fácil de generalizar al caso en que $f$ es una función de $n$ variables (es decir, $f: X\subseteq \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$) y $\textbf{x}:T\subseteq \mathbb R \rightarrow \mathbb R^n$. En este caso es apropiada la fórmula de la regla de la cadena

$$\frac{df}{dt}(t_0)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(\textbf{x}_0)\frac{dx_1}{dt}(t_0)+\frac{\partial f}{\partial x_2}(\textbf{x}_0)\frac{dx_2}{dt}(t_0)+...+\frac{\partial f}{\partial x_n}(\textbf{x}_0)\frac{dx_n}{dt}(t_0)$$

Advierta que el lado derecho de la ecuación también puede escribirse utilizando notación matricial:


# Cálculo Vectorial (Clase 4)

### Derivadas direccionales y gradientes

## Máximos y Mínimos con varias variables

### Multiplicadores de Lagrange