# Szabo problem 2.33

一般に演算子Aの基底$\left|\alpha\right\rangle$、$\left|\beta\right\rangle$における行列表示とは

$$
\begin{pmatrix}
\left\langle \alpha \right|A\left|\alpha\right\rangle &
\left\langle \alpha \right|A\left|\beta\right\rangle\\
\left\langle \beta \right|A\left|\alpha\right\rangle &
\left\langle \beta \right|A\left|\beta\right\rangle\\
\end{pmatrix}
$$

のこと。

$\left|\alpha\right\rangle$、$\left|\beta\right\rangle$は正規直交系をなすので、$\left\langle \alpha\mid\alpha\right\rangle=\left\langle \beta\mid\beta\right\rangle=1$、
$\left\langle\alpha\mid\beta\right\rangle=\left\langle \beta\mid\alpha\right\rangle=0$が成り立つ。

したがって$s_+$を例に取り$\left\langle \alpha \right|s_+\left|\alpha\right\rangle$を求めるには、(2.247a)第一式より

$\left\langle \alpha \right|s_+\left|\alpha\right\rangle =\left\langle \alpha \right|(s_+\left|\alpha\right\rangle) = \left\langle \alpha \right|0 = 0$

$\left\langle \alpha \right|s_+\left|\beta\right\rangle$ならば(2.247a)第二式から

$\left\langle \alpha \right|s_+\left|\beta\right\rangle=\left\langle\alpha \right|(s_+\left|\beta\right\rangle)=\left\langle\alpha \mid \alpha\right\rangle = 1$

などのように求まる。他の行列成分、他の演算子についても式(2.245)-(2.247)によって与えられる各演算子の$\left|\alpha\right\rangle$、$\left|\beta\right\rangle$への作用と$\left|\alpha\right\rangle$、$\left|\beta\right\rangle$の正規直交関係から求めることができる。