# Zadanie 5 z listy 6 (Algebra)

Ile rozwiązań ma poniższy układ równań w zależności od parametru λ? Układ jest nad $Z_{13}$, tym samym λ ∈ $Z_{13}$.
$$
\left\{ \begin{array}{ll}
λx & + & λ^{2}y & + & λ^{3}z & = & 1\\
x & + & λ^{2}y & + & λ^{3}z & = & λ\\
x & + & y & + & λ^{3}z & = & λ^{2}
\end{array} \right.
$$

Zapiszmy układ jako $\left[
\begin{array}{c:c}
A & \overrightarrow{v}\\
\end{array}
\right]$

Czyli:

$$
\left[
\begin{array}{c c c:c}
λ & λ^{2} & λ^{3} & 1\\
1 & λ^{2} & λ^{3} & λ\\
1 & 1 & λ^{3} & λ^{2}\\
\end{array}
\right] \underrightarrow{(1) - (2), (2)-(3)}
\left[
\begin{array}{c c c:c}
λ-1 & 0 & 0 & 1-λ\\
0 & λ^{2}-1 & 0 & λ-λ^{2}\\
1 & 1 & λ^{3} & λ^{2}\\
\end{array}
\right]
$$

\
$$
det(A) = (λ-1) \cdot (λ^{2}-1) \cdot λ^{3} =(λ-1)^{2} \cdot (λ+1) \cdot λ^{3}
$$
\
Zatem dla $λ ∈ \{-1, 0, 1\}, \: det(A) = 0$

Rozpatrzmy przypadki:
#### 0° Gdy $λ ∉ \{-1, 0, 1\}$
$rk(A) = 3 = rk(A|v)$, oraz $rk(A)$ jest równy liczbie niewiadomych, zatem istnieje dokładnie jedno rozwiązanie.

#### 1° λ = -1, λ = 0
$$
\left[
\begin{array}{c c c:c}
-2 & 0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 0 & -2\\
1 & 1 & -1 & 1\\
\end{array}
\right]\underrightarrow{(1) - (3)}
\left[
\begin{array}{c c c:c}
0 & 1 & -1 & 4\\
0 & 0 & 0 & -2\\
1 & 1 & -1 & 1\\
\end{array}
\right]
$$
\
$$
\left[
\begin{array}{c c c:c}
-1 & 0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
\end{array}
\right]\underrightarrow{(1) + (2) + (3)}
\left[
\begin{array}{c c c:c}
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & -1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0\\
\end{array}
\right]
$$
Wtedy $rk(A) = 2 ≠ rk(A|v) = 3$
Zatem układ równań nie ma rozwiązań.
#### 2° λ = 1
$$
\left[
\begin{array}{c c c:c}
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 1\\
\end{array}
\right]
$$
Wtedy $rk(A) = 1 = rk(A|v)$
Zauważmy, że otrzymujemy równanie:
$$
x + y + z = 1
$$

Możemy uzależnić $x$ od $y$ oraz $z$:
$$
x = 1 - y - z
$$
Nasz zbiór rozwiązań będzie więc wyglądał tak:

$$\{(1-y-z, y, z),\:gdzie \: y,z ∈ Z_{13}\}$$

Zatem układ ma $13^{2}$ rozwiązań.

###### tags: `algebra`