# Zadanie 3 Lista 10
Pokaż, że następujące przekształcenia są izometriami.

#### 1. Obrót o kąt α na płaszczyźnie
Obrót o kąt α na płaszczyźnie zadany jest wzorem:
$F(x) = (e^{i\alpha}x),$ dla $x \in \Bbb{C}$

Wiemy, że przekształcenie jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy zachowuje długość.
Zatem weźmy dowolne $v \in \Bbb{C}$.

Wtedy:
$$||F(v)|| = ||e^{i\alpha}v|| = |e^{i\alpha}| \cdot ||v|| = ||v||$$

Ponieważ $|e^{i\alpha}| = |cos\alpha + isin\alpha| = \sqrt{cos^{2}\alpha + sin^2\alpha} = 1$

#### 2. Zamiana jednej ze współrzędnych (w bazie ortonormalnej) na przeciwną. (Przez „współrzędne” rozumiemy standardowe współrzędne $\Bbb{R}^{n}$.)
Niech $B = b_{1}, b_{2}, ... b_{n}$ baza ortonormalna $\Bbb{R}^{n}$.

Weźmy dowolne $\overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \in \Bbb{R}^{n}$
Niech:
$$v = \alpha_{1}b_{1} + \alpha_{2}b_{2} + ... \alpha_{n} b_{n}, \: \:
w = \beta_{1}b_{1} + \beta_{2}b_{2} +...\beta_{n} b_{n}$$

Bez straty ogólności, przyjmijmy, że zamieniamy pierwszą współrzędną na przeciwną.
$F$ - przekształcenie liniowe zamieniające pierwszą współrzędną na przeciwną.

$$\langle F(v), F(w) \rangle =
\langle -\alpha_{1}b_{1} + \sum_{i=2}^{n}\alpha_{i}b_{i},
-\beta_{1}b_{1} + \sum_{j=2}^{n}\beta_{j}b_{j}\rangle =$$

$$\langle \sum_{i=2}^{n}\alpha_{i}b_{i},
\sum_{j=2}^{n}\beta_{j}b_{j}\rangle
-\langle \sum_{i=2}^{n}\alpha_{i}b_{i},
\beta_{1}b_{1}\rangle
-\langle \sum_{j=2}^{n}\beta_{i}b_{i},
\alpha_{1}b_{1}\rangle
+\langle \alpha_{1}b_{1},
\beta_{1}b_{1}\rangle=$$

Korzystając z liniowości możemy wyciągnąć skalary przed iloczyn skalarny w dwóch środkowych wyrażeniach:
$$
\langle \sum_{i=2}^{n}\alpha_{i}b_{i},
\sum_{j=2}^{n}\beta_{j}b_{j}\rangle +
(-\beta_{1})\sum_{i=2}^{n}\alpha_{i} \langle b_{i} ,b_{1}\rangle +
(-\alpha_{1})\sum_{j=2}^{n}\beta_{j} \langle b_{1} , b_{j}\rangle +\langle \alpha_{1}b_{1},
\beta_{1}b_{1}\rangle=
$$

Ponieważ $B$ to baza ortonormalna to dla każdego $i = 2, 3 ... n, \langle b_{i},
b_{1} \rangle = 0$

$$\langle \sum_{i=2}^{n}\alpha_{i}b_{i},
\sum_{j=2}^{n}\beta_{j}b_{j}\rangle + 0 + 0
+\langle \alpha_{1}b_{1},
\beta_{1}b_{1}\rangle=$$

$$\langle \sum_{i=2}^{n}\alpha_{i}b_{i},
\sum_{j=2}^{n}\beta_{j}b_{j}\rangle
+\langle \sum_{i=2}^{n}\alpha_{i}b_{i},
\beta_{1}b_{1}\rangle
+\langle \sum_{j=2}^{n}\beta_{i}b_{i},
\alpha_{1}b_{1}\rangle
+\langle \alpha_{1}b_{1},
\beta_{1}b_{1}\rangle=$$

$$\langle \alpha_{1}b_{1} + \sum_{i=2}^{n}\alpha_{i}b_{i},
\beta_{1}b_{1} + \sum_{j=2}^{n}\beta_{j}b_{j}\rangle
= \langle v,w \rangle$$

#### 3. Symetria względem podprzestrzeni.

$R(v) = 2 \cdot P(v) - v$, gdzie $P$ to rzut na $\Bbb{W}$

Weźmy dowolne $\overrightarrow{v} \in \Bbb{V}$

$$||R(v)||^{2} = ||2P(v)-v||^{2}=\langle 2P(v)-v,2P(v) - v \rangle = $$

$$\langle 2P(v), 2P(v) \rangle -2\langle 2P(v), v \rangle + \langle v,v \rangle = $$

$$4(\langle P(v), P(v) \rangle -\langle P(v), v \rangle) + \langle v,v \rangle = 4\langle P(v), P(v) - v \rangle + \langle v,v \rangle $$

Ponieważ P to rzut prostopadły to $\langle P(v), P(v) - v \rangle = 0$.
Zatem:

$$||R(v)||^{2} = \langle v,v \rangle = ||v||^2$$
Czyli:

$$||R(v)|| = ||v||$$

###### tags: `algebra`