# Zadanie 5 Lista 12

#### $(1)$ Wyznacz permutacje odwrotne do $G =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 3 & 1 & 4 & 5 & 2\end{pmatrix}$ oraz $P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 2 & 1 & 3\end{pmatrix}$.

Wystarczy zamienić miejscami i uporządkować.

$$G^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 1 & 3 & 4\end{pmatrix}$$

$$P^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 5 & 1 & 2 \\\end{pmatrix}$$

#### $(2)$ Przedstaw permutację $G = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\ 3 & 7 & 8 & 10 & 11 & 2 & 6 & 5 & 4 & 9 & 1 & 12\end{pmatrix}$ jako złożenie cykli rozłącznych.

Szukamy cykli nie posiadających wspólnego elementu.

digraph finite_state_machine {
    
    node [ shape="circle", style="bold, filled", fillcolor="#dddddd" ]
    { rank="same"; 1 -> 3 -> 8; }
    8->5
    { rank="same"; 11->5 [ dir="back" ]; }
    11->1
    
     { rank="same"; 2->7; }
     7->6
     6->2
    
    { rank="same"; 4->10;}
    10->9->4
    
    12->12
}

$$G = (1, 3, 8, 5, 11) \cdot (2, 7, 6) \cdot (4, 10, 9)$$

#### $(3)$ Przedstaw permutację $G = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4\end{pmatrix}$ oraz $P = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 3 & 2 & 5 & 4 & 1\end{pmatrix}$ jako złożenia transpozycji.

Najpierw przedstawmy permutacje jako złożenie cykli rozłącznych, a potem każdy z nich jako złożenie transpozycji.

$$G = (1, 5, 4, 3, 2) = (1,2) \cdot (1,3) \cdot (1,4) \cdot (1,5) \mathop{=}\limits^{lub} (1,5) \cdot (5,4) \cdot (4,3) \cdot (3,2)$$

$$P = (1,6) \cdot (2,3) \cdot (4,5)$$

#### $(4)$ Jakie są rzędy permutacji z powyższych podpunktów?

Rząd permutacji to $NWW$ rzędów cykli rozłącznych. Natomiast rząd cyklu to jego długość.

- $(1)$

$G = (1,3,4,5,2)$
Zatem rząd $G$ wynosi $5$.

$P = (1,4) \cdot (2,5,3)$
Zatem rząd $P$ wynosi $NWW(2,3) = 6$.

- $(2)$

Rząd $G$ to $NWW(5,3) = 15$

- $(3)$

Rząd $G$ to $5$.
Rząd $P$ to $2$.

###### tags: `algebra`