# TP 1 : Sondages
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## Exercice 1

Soit N = 6 et n = 3. Les valeurs des réponses sont :

y1 = 98
y2 = 102
y3 = 154
y4 = 133
y5 = 190
y6 = 175
La cible est la moyenne de la population µ.
Deux plans de sondage sont proposés :

### 1. Calculer $\bar{y}_U$.

Moyenne sur la population
$\bar{y}_U = (98 + 102 + 154 + 133 + 190 + 175) / 6 = 142$

### 2. Pour chaque plan, obtenir $E[\bar{y}], Var[\bar{y}], Biais[\bar{y}], EQM[\bar{y}]$ :

#### Plan 1

$\bar{y}_1 = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} = \frac{98 + 154 + 190}{3} = 147.33$

| s | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| ----------- | ----- | ------- | ------- | ------- | ------- | ------- | ------ | ------ |
| $\bar{y}_s$ | 147.33 | 142.333 | 140.333 | 135.333 | 148.666 | 143.666 | 141.66 | 136.66 |

#### Plan 2

| s | 1 | 2 | 3 |
| ----------- | ------ | ------ | ------ |
| $\bar{y}_s$ | 135.33 | 143.66 | 147.33 |

#### Résultats

$E[\bar{y}] = \sum_{s=0}^n{(\bar{y}_{s}*p(s))}$

$Var[\bar{y}] = \frac{1}{n}\sum_{1=0}^n{(E[\bar{y}] - \bar{y}_i)^2}$

$Biais[\bar{y}] = E[\bar{y}] - \bar{y}_1$

$EQM[\bar{y}] = Var[\bar{y}] + Biais^2[\bar{y}]$

| Plans | $E[\bar{y}]$ | $Var[\bar{y}]$ | $Biais[\bar{y}]$ | $EQM[\bar{y}]$ |
| ------ | ------------ | -------------- | ---------------- | -------------- |
| Plan 1 | 142 | 18.944 | 0 | 18.944 |
| Plan 2 | 142.5 | 19.44 | 0.5 | 19.69 |

### 3. Quel est le meilleur plan de sondage ?

On préfère le plan numéro 1 car l'erreur quadratique moyenne est plus petite.

## Exercice 2 :

Une université a 807 enseignants-chercheurs.
On a enregistré le nombre de publication sur 50 enseignants tirés au hasard suivant un plan de sondage SI (voir tableau).

| Publications | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --------------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **Enseignants** | 28 | 4 | 3 | 4 | 4 | 2 | 1 | 0 | 2 | 1 | 1 |

#### 1. Représenter les données à l’aide d’un histogramme


#### 2. Estimer le nombre moyen de publications par enseignant/chercheur et donner l’écart type de l’erreur.

$\bar{X} = (0 * 28 + 1*4 + 2*3 +3*4+4*4+5*2+6*1+7*0+8*2+9*1+10*1)/50$
$\bar{X} = 1.78$

$\theta = \mu$
$\hat{\theta} = \bar{X}$
$V(\hat\theta) = \frac{V(X)}{n}$

L'écart-type erreur est la racine de la variance :

$\sigma^2 = 7.20$
$\sqrt{Var(\hat\theta)} = \sqrt{\frac{7.20}{50}} = 0.38$

#### 3. Estimer la proportion d’enseignants/chercheurs sans aucune publication et donner un intervalle de confiance au 95%.

$y_k$ = { 1 si $k_{ieme}$ enseignant est non publicateur 0 sinon

$\rho = \frac{\sum_{k\in{U}}{y_k}}{N}$

$\hat\rho = \bar{y_s} = \frac{\sum_{k\in{s}}{y_k}}{n} = \frac{28}{50}$