# TD1 : Stat inf
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https://guillaumemetzler.github.io/documents/snpl3_lyon2/sujet_td1.pdf

## 1. Fonction de masse

Soit X une variable aléatoire discrète selon la fonction de masse de probabilité p défini comme
p(x)=$\frac{1}{2}$ si x=−1, et p(x)=$\frac{1}{10}$ si x=2,3,4,5 ou 10.

1. Montrer que p est une fonction de masse de probabilité.

| -1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0.5 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |

Somme = 1

2. Obtenir l’espérance de X.

$\mathbb{E}[X] = 1.9$

3. Obtenir la variance de X.

$Var = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2$
$\mathbb{E}[X^2] = 0.5*(-1)² + 0.1*2²+0.1*3²+0.1*4²+0.1*5²+0.1*10² = 15.9$
$(\mathbb{E}[X])^2 = 1.9^2 = 3.61$
$Var = 12.29$

4. Obtenir la fonction de répartition F de la variable aléatoire X.

5. Obtenir la fonction quantile Q, i.e. l’inverse de la fonction de répartition F.

## 2. Fonction de densité
Soit la fonction f(x)=kx² ,x∈[0,2] une fonction de densité de probabilité, avec k >0.
1. Rappeler les conditions pour qu’une fonction soit une fonction de densité.

2. Déterminer k pour que la fonction f donnée soit une fonction de densité.

3. Si X est une variable aléatoire distribuée selon la fonction de densité f, calculer l’espérance de X.

4. Expliquer comment vous obtiendriez la variance de X (pas besoin de faire les calculs).

5. Obtenir la borne M telle que f(x)≤M,∀x∈R.

6. Obtenir F, la fonction de répartition de la variable aléatoire X.

7. Obtenir la fonction inverse de la fonction de répartition F.