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title: 第一篇ONE-BIT AUTOCORRELATION ESTIMATION WITH NON-ZERO THRESHOLDS
tags: [ONE-BIT AUTOCORRELATION ESTIMATION WITH NON-ZERO THRESHOLDS, 研一, 論文]

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###### tags: `ONE-BIT AUTOCORRELATION ESTIMATION WITH NON-ZERO THRESHOLDS` `研一` `論文`
# 第一篇ONE-BIT AUTOCORRELATION ESTIMATION WITH NON-ZERO THRESHOLDS
# ABSTRACT
## 目的
:::info
使用one-bit quantizer with a non-zero threshold，達到==autocorrelation estimator==(autocorrelation的測量)。
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## 過去的兩種方法
- ==power estimation== and ==the Fisher information== were studied for one-bit quantizers with thresholds
    - Fisher information不清楚這是什麼
- ==normalized autocorrelation== with one-bit quantizers of a ==zero== threshold
    - polarity coincidence correlator (PCC)

# introduce
:::info
在過去我們測量==power==和==normalized autocorrelation==需要使用兩次one-bit quanitzers，這會造成硬體成本的上升以及更複雜的系統，但是作者提出一個新的方法，只需要一次的one-bit quantizer，這可以同時測量==power==和==normalized autocorrelation==
:::
## 作者方法
### 步驟一
- 根據one-bit data的Sample的平均值，推斷出power信息。
### 步驟二
- 在threshold不為0的情況下，把==量化後==的autocorrelation和==未量化==normalized autocorrelation相關聯。
- Price’s theorem [13], Mehler’s formula [14], and Hermite polynomials [15, 16]
## Hermite polynomials
![](https://i.imgur.com/b8NxSG8.png)
##  Mehler’s formula
![](https://i.imgur.com/dCq1hsU.png)
# PRELIMINARIES(開場)
:::success
初步講解了：
1. one-bit quantizer是什麼
2. 當threshold=0時，==量化後==的autocorrelation和==未量化==normalized autocorrelation相關聯。
:::
## one-bit quantizer
![](https://i.imgur.com/gQPoC88.png)
## 當threshold=0時
![](https://i.imgur.com/9zSprz9.png)
- 缺點是：失去power information。

# ONE-BIT QUANTIZATION WITH A POSITIVE THRESHOLD(當threshold大於0)
:::info
探討量化後的期望值、autocorrelation和未量化的autocorrelation的關系。
:::
- 用來找出未量化的標準差$\sigma_x$，用於解最佳化問題
![](https://i.imgur.com/4mNH5Qb.png)
- 從量化的autocorrelation推導出未量化的autocorrelation。
- 推導過程我不會
![](https://i.imgur.com/dcQaQTb.png)

# ONE-BIT AUTOCORRELATION ESTIMATION(演算法推導過程)
:::info

:::
![](https://i.imgur.com/RkCB9Vp.png)
- 演算法==第一步==驟使用這公式
![](https://i.imgur.com/BmUlMDD.png)
- 這個公式可以推導出，第三步的公式，進而推導出$\sigma_x$
![](https://i.imgur.com/aERkjc6.png)
- 把sample出來的資料做autocorrelation後，代入(4)這個公式，找出==未量化的normalized autocorrelation==
![](https://i.imgur.com/2icoULC.png)
![](https://i.imgur.com/aL9LP0A.png)
- 因為(4)有無限多項，所以做truncated。
![](https://i.imgur.com/r2SIEzs.png)
- 這裡我不太懂，像是：
    - arg min的符號意義
    - 最佳化的符號，$\rho$為loss function
![](https://i.imgur.com/f9NAkiE.png)
- 把得出的normalized autocorrelation取實部後乘上power(功率)，找到為量化前的Autocorrelation。
![](https://i.imgur.com/3eJKUOy.png)
# NUMERICAL EXAMPLES(實驗的結果)
:::info
使用Monte-Carlo來做實驗，比較不同threshold後，實際上的autocorrelation和測量出來autocorrelation的差異。
:::
- 不同threshold上，每一個Autocorrelation與實際的Autocorrelaiton的差異。
- R = 10 Monte-Carlo trials 這是什麼意思。
- ==不太懂k是什麼==，這是做量化後信號autocorrelation的時間差k。
![](https://i.imgur.com/rO3HrlB.png)
- 最後用這張圖表示，我們可以使用one-bit量化來推出autocorrelation，且誤差很低(5dB)。
![](https://i.imgur.com/EENyTes.png)

# 賣點：
- 使用one-bit且non-zero threshold推導出未量化的autocorrelaiton。
# 問題：
- Price’s theorem [13], Mehler’s formula [14], and Hermite polynomials [15, 16]，所推導出的：
![](https://i.imgur.com/dcQaQTb.png)

- ==R = 10== Monte-Carlo trials，R是指實驗做幾次。

![](https://i.imgur.com/VPUr4T4.png)


# 論點
## 方程式的驗證
## fisher information
## 微分程式的解法
## (4)的正確性
## 演算法為什麼要這麼設計
## Qmax 為什麼要這麼選
## 參數為什麼要這樣選


# 名詞查詢
## One-bit quantization(量化)
- 把input的數值，分成兩種結果
    - ex：0或1
## autocorrelation

## wide-sense stationary
- 期望值為常數
- Autocorrelation只和時間的差有關。
## non-zero thresholds And zero threshold
## polynomial root-finding
## array signal processing
## Fisher information
## polarity coincidence correlator (PCC)
## arcsine law
## stationary Gaussian process
## DOA estimation
## Monte-Carlo trials