# Wzory Wallisa i Stirlinga, Całkowanie numeryczne i Ciągi i szeregi funkcyjne

## Wzory Wallisa i Stirlinga

### Wzór Wallisa
Wzór Wallisa:
$$
\pi = \lim\limits_{n\to\infty}\frac1n\left(\frac{2\cdot4\cdot\cdots\cdot2n}{1\cdot3\cdot\cdots\cdot(2n-1)}\right)^2 = \lim\limits_{n\to\infty}\frac1n\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2
$$

### Wzór Stirlinga
$$
\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!e^n}{\sqrt{2\pi n}n^n} = 1.
$$

## Całkowanie numeryczne

### Wielomiany interpolacyjne
Podstawową metodą przybliżonego obliczania całki oznaczonej dajen funkcji $f$ jest przybliżenie wielomianem, i obliczenie całki tego wielomianu:
$$
\require{cancel}
\int_a^bf(x)dx\approx\int_a^bp(x)dx.
$$
W powyższym $p$ jest wielomianem, który "zgadza się" z funkcją $f$ w wybranych punktach węzłowych:
$$
p(x_i)=f(x_i),\qquad i = 0,1,\dots,n.
$$
Wielomian taki nazywamy wielomianem interpolacyjnym, i mamy następujące twierdzenie:

#### Twierdzenie
Jeżeli punkty $x_0, x_1, \dots,x_n\in [a,b]$są wszystkie różne, to dla dowolnych wartości $y_1,y_2,\dots,y_n$ istnieje dokładnie jeden wielomian $p$ stopnia $\le n$ taki, że
$$
p(x_i)=y_i,\qquad i = 0,1,\dots,n.
$$

### Metody Newtona-Cotesa
Mając wzór na wielomian interpolacyjny otrzymujemy następujący wzór na całkę przybliżoną:
$$
\int_a^bf(x)dx\approx\int_a^bp(x)dx=\sum\limits_{i=0}^{n}f(x_i)\int_a^b\varphi_i(x)dx.
$$
$\varphi_i$ jest wielomianem, więc całki po prawej stronie można policzyć dokładnie i nie zależą one od $f$. Jeżeli punkty węzłowe $x_0,x_1,\dots,x_n$ są rozłożone równomiernie na $[a,b]$:
$$
a=x_0\lt x_1\lt\cdots\lt x_n=b,\qquad x_{i+1}-x_i=\frac{b-a}n,
$$
to powyższe przybliżenie nazywa się metodą Newtona-Cotesa. W praktyce metody Newtona-Cotesa stosowane sądla $n=1$ (metoda trapezów) i $n=2$ (metoda Simpsona).
#### Metoda trapezów $n=1$
Mamy dwa punkty węzłowe $x_0 = 1$ i $x_1 = b$. Wielomian interpolacyjny jest liniowy
$$
\begin{aligned}
p(x) &= f(a)\left(\frac{x-b}{a-b}\right)+f(b)\left(\frac{x-a}{b-a}\right), \\
\int_a^bp(x)dx &= \frac{f(a)}{a-b}\frac{(x-b)^2}2\Biggr|_a^b+\frac{f(b)}{b-a}\frac{(x-a)^2}2\Biggl|_a^b\\
&= \frac{f(a)}{a-b}\frac{(a-b)^2}2+\frac{f(b)}{b-a}\frac{(b-a)^2}2\\
&= \frac{b-a}2(f(a)+f(b)).
\end{aligned}
$$

#### Metoda Simpsona $n = 2$
Mamy 3 punkty węzłowe $x_0=a$, $x_1=\frac{a+b}2$, $x_2=b$. Wielomiany $\varphi_i$ wyglądają więc następująco:
$$
\begin{aligned}
\varphi_0(x) &= \frac {(x-\frac{a+b}2)(x-b)}{(a-\frac{a+b}2)(a-b)} =
\frac 2{(b-a)^2} \left( x-\frac{a+b}2 \right) (x-b),\\
\varphi_1(x) &= \frac {(x-a)(x-b)}{(\frac{a+b}2-a)(\frac{a+b}2-b)} =
\frac {-4}{(b-a)^2} \left( x-a \right) (x-b),\\
\varphi_2(x) &= \frac {(x-a)(x-\frac{a+b}2)}{(b-a)(b-\frac{a+b}2)} =
\frac 2{(b-a)^2} (x-a) \left( x-\frac{a+b}2 \right).
\end{aligned}
$$
Obliczamy całki:
$$
\int_a^b\varphi_0(x)dx = \frac{b-a}6,\quad
\int_a^b\varphi_1(x)dx = \frac{2(b-a)}3,\quad
\int_a^b\varphi_2(x)dx = \frac{b-a}6,
$$
i ostatecznie
$$
\int_a^bf(x)dx\approx\int_a^bp(x)dx=
\frac{(b-a)}{6}\biggl(f(a)+4f\textstyle(\frac{a+b}2)\displaystyle+4(b)\biggr).
$$
### Oszacowanie błędu
#### Twierdzenie
Niech $f$ ma $n+1$ pochodnych na przedziale $[a,b]$, $x_0,x_1,\dots,x_n\in[a,b]$ będą różnymi punktami węzłowymi, a $p$ będzie wielomianem interpolacyjnym stopnia $\le n:\;f(x_i)=p(x_i)$. Wtedy, dla dowolnego $x\in[a,b]$ istnieje punkt $\xi_x\in(a,b)$taki, że
$$
f(x)-p(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!}\prod\limits_{i=0}^n(x-x_i).
$$
### Metoda trapezów: Błąd dla $n=1$.
Załóżmy, że $f$ jest 2-krotnie różniczkowalna na przedziale $[a,b]$, oraz $f''$ jest ciągła. Mamy
$$
\begin{aligned}
E_1 =&\int_a^bf(x)dx-\int_a^bp(x)dx\\
=& \frac1{2!}\int_a^bf''(\xi_x)(x-a)(x-b)dx\\
=&\frac12f''(\eta)\int_a^b(x-a)(x-b)dx\\
=&-\frac1{12}(b-1)^3f''(\eta).
\end{aligned}
$$
### Twierdzenie o wartości średniej
Jeżeli $f$ jest ciągła a $g$ całkowalna na $[a,b]$, oraz dodatkowo $g$ ma na $[a,b]$ stały znak, to istnieje punkt $\eta\in[a,b]$ takim że
$$
\int_a^bf(x)g(x)dx = f(\eta)\int_a^bg(x)dx.
$$
### Twierdzenie 14.4
Jeżeli $f$ ma $n+2$ pochodne na przedziale $[a,b]$, $x_o,x_1,\dots,x_n\in[a,b]$ są różne, a $p$ jest wielomianem interpolacyjnym $f$ stopnia $\le n+2$, z punktem $x_{i_0}$ "podwójnym", to znaczy
$$
f(x_i) = p(x_i),\quad i=0,1,\dots,n,\qquad f'(x_{i_0}) = p'(x_{i_0}),
$$
to dla dowolnego $x\in[a,b]$ istnieje $\xi_x\in[a,b]$ takie, że
$$
f(x)-p(x) = \frac{f^{(n+2)}(\xi_x)}{(n+2)!}\prod\limits_{i=0}^n(x-x_i)\cdot(x-x_{i_0})
$$
(czynnik $(x-x_{i_0})$ występuje 2 razy).

### Rozdrobnienie przedziału całkowania
Dla zmniejszenia błędu zamiast zwiększana stopnia wielomianu interpolacyjnego z reguły dzieli się przedział $[a,b]$ na podprzedziały. Prowadzi to do przybliżenia całkowanej funkcji $f$ przez funkcję kawałkami wielomianowe. Dla metody trapezów przy podziale przedziału $[a,b]$ na $n$ podprzedziałów równej $h=(b-a)\div n$ mamy wzór
$$
\int_a^bf(x)dx\approx\frac h2\sum\limits_{i=1}^{n}(f(x_i)+f(x_{i-1}))=\frac h2(f+0+2f_1+\cdots+2f_{n-1}+f_n),
$$
gdzie
$$
f_i=f(x_i)=f(a+ih).
$$
Jeżeli $|f''(x)|\le M$ na $[a,b]$ to błąd przybliżenia w każdym podprzedziale jest $\le\frac1{12}h^3M$, więc łączny błąd nie przekracza
$$
|E_1|\le\frac{(b-a)^3M}{12n^2}.
$$
Dla metody Simpsona mamy wzór
$$
\begin{aligned}
\int_a^bf(x)dx&\approx\frac h6\sum\limits_{i=1}^n\Bigl(f(x_{i-1})+4f(\textstyle\frac{x_{i-1}+x_i}2\displaystyle)+f(x_i)\Bigr)\\
&=\frac h6(f_0+4f_{1/2}+2f_1+4f_{3/2}+\cdots+2f_{n-1}+4_{n-1/2}+f_n)
\end{aligned}
$$
gdzie
$$
f_\eta=f(a+\eta\cdot h).
$$
Jeżeli $|f^{(4)}|\le M$ na $[a,b]$, to błąd spełnia
$$
|E_2|\le\frac{(b-a)^5M}{2880\cdot n^4}.
$$
Zauważmy: dla metody trapezów i podziału $[a,b]$ na $2n$ podprzedziałów
mamy $(2n+1)$ ewaluacji funkcji $f$ i błądnie wiest większy niż
$$
\frac{(b-a)^3\sup\{|f''(x)|:x\in[a,b]\}}{48n^2}
$$
Dla metody Simpsona i podziału $[a,b]$ na $n$ podprzedziałów mamy $(2n-1)$ ewaluacji funkcji $f$ (czyli podobnie) i błąd nie większy niż
$$
\frac{(a-b)^5\sup\{|f^{(4)}(x)|:x\in[a,b]\}}{2880n^2}.
$$
W zależności od zachowania sie 2 i 4 pochodnych i oczekiwanej dokładności jedna lub druga metoda będzie korzystniejsza.

### Kwadratury Gaussa
Dla danego przedziału $[a,b]$ i $n\ge0$ istnieją punkty $x_0,x_1,\dots,x_n$ (zależne tylko od $[a,b]$ i $n$) takie, że wzór
$$
\int_a^bf(x)dx\approx\sum\limits_{i=0}^{n}\alpha_if(x_i),\qquad x_0,x_i,\dots,x_n\in[a,b]
$$
gdzie
$$
\alpha_i=\int_a^b\varphi_i(x)dx,\quad\varphi_i(x)=\prod\limits_\underset{j\neq i}{j=0}\frac{x-x_i}{x_i-x_j}
$$
jest dokładny dla wielomianów stopnia $\le2n+1$.
### Metoda Monte Carlo
Maląc funkcję nieujemną, ograniczoną $f$ na $[a,b]$ możemy postępować następująco. Wyznaczmy ograniczenie $f$ od góry, powiedzmy $f(x)\le M$. Następnie generujemy losowo $n$ punktów ($x_i$,$y_i$) w prostokącie $[a,b]\times[0,M]$. Rozkład prawdopodobieństwa powinien być jednostajny, a wszystkie liczby losowe $x_i$,$y_i$, $i=1,\dots,n$ powinny być generowane niezależnie. Następnie zliczamy wszystkie przypadki, w których $y_i\lt f(x_i)$, niech bedzie ich $m$. Wtedy proporcja $\frac mn$ powinna być taka sama, jak proporcja pola pod wykresem do pola całego prostokąta
$$
\frac mn\simeq\frac{\int_a^bf(x)dx}{(b-a)\cdot M}.
$$

## Ciągi i szeregi funkcjyjne

Niech $f_n$, $n=1,2,\dots$ będą funkcjami określonymi na pwnym zbiorze $E$. Mówimy, że tworzą one ciąg funkcjyjny na $E$. Zauważmy, że dla dowolnego ustalonego punktu $x\in E$ mamy ciąg liczbowy $\{f_n(x)\}$. Ciąg taki może być zbieżny lub nie. Jeżeli dla każdego $x\in E$ istnieje granica $\lim_{n\to\infty}f_n(x)$, to mówimy, że ciąg funkcyjny $\{f_n\}$ jest zbieżny punktowo. Podobnie, jeżeli dla każdego $x\in E$ szereg liczbowy $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ jest zbieżny, to mówimy, że szereg funkcyjny $\sum_{n=1}^\infty f_n$ jest zbieżny punktowo na $E$.
### Definicja
Ciąg funkcyjny $\{f_n\}$ jest zbieżny jednostajnie do funkcji $f$ na zbiorze $E$, jeżeli
$$
\forall\;\epsilon\gt0\quad
\exists\;n_o\in \mathbb{N}\quad
\forall\;n\ge n_0\quad
\forall\;x\in E\quad
|f_n(x)-f(x)|\lt\epsilon,
$$
(czyli nie tylko ciąg jest zbieżny w każdym punkcie, ale można wybrać $n_0$ niezależnie od $x\in E$).

Podobnie, szereg funkcyjny $\sum_{n=0}^\infty f_n$ jest zbieżny jednostajnie na $E$, jeżeli ciąg sum częściowych
$$
s_n(x)=\sum\limits_{i=0}^nf_i(x)
$$
jest zbieżny jednostajnie.
### Warunek Cauchy'ego lda ciąfów funkcyjnych
Ciąg funkcyjny $\{f_n\}$ jest zbieżny jednostajnie na zbiorze $E$ wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia jednostajnie warunek Cauchy'ego, czyli gdy
$$
\forall\;\epsilon\gt0\quad
\exists\;n_0\in\mathbb{N}\quad
\forall\;m,n\ge n_0\quad
\forall\;x\in E\quad
|f_m(x) - f_n(x)|\lt\epsilon.
$$
### Ciągłość granicy ciągu funkcyjnego
Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych kest ciągła.

### Całkowalność granicy ciągu funkcyjnego
Niech $\{f_n\}$ będzie ciągiem funkcji całkowalnych na $[a,b]$ w sensie Riemanna i niech $f_n\to f$ jednostajnie na $[a,b]$. Wtedy $f$ też jest całkowalna w sensie Riemanna oraz
$$
\int_a^bf(x)dx = \lim\limits_{n\to\infty}\int_a^bf_n(x)dx.
$$
### Wniosek 15.5
Jeżeli funkcje $f_n$ są całkowalne w sensie Riemanna na $[a,b]$ i
$$
f(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)\quad\text{jednostajnie na}\quad[a,b]
$$
to
$$
\int_a^bf(x)dx = \int_a^b\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)dx = \sum\limits_{n=1}^\infty\int_a^b f_n(x)dx
$$
### Twierdzenie 15.6
Niech $\{f_n\}$ będzie ciągniem funkcji różniczkowalnych na przedziale $[a,b]$, takim, że ciąg pochodnych $\{f'_n\}$ jest zbieżny jednostajnie na $[a,b]$. Jeżeli sam ciąg $\{f_n\}$ jest zbieżny chociaż w jednym punkcie, to jest zbieżny jednostajnie do pewnej funkcji f, różniczkowalnej na $[a,b]$, oraz
$$
f'(x)=\lim\limits_{n\to\infty}f'_n(x).
$$
### Wniosek 15.7
Niech ciąg $\{f_n\}$ będzie zbieżny do $f$ jednostajnie na przedziale $[a,b]$, i niech $F'_n = f_n$, czyli niech $F_n$ będą funkcjami pierwotnymi funkcji $f_n$. Załóżmy dodatkowo, że dla jakiegoś $x\in[a,b]$ ciąg $F_n(x)$ jest cbieżny. Wtedy ciąg funkcji pierwotnych $\{F_n\}$ jest zbieżny jednostajnie do pewnej funkcji $F$, i funkcja $F$ jest funkcją pierwotną funkcji $f$:
$$
F'(x) = f(x),\qquad x\in(a,b).
$$
Można to sformułować w języku całek nieoznaczonych. Niech $f_n\to f$ jednostajnie na $[a,b]$, i niech ciąg
$$
\int f_n(x)dx
$$
będzie zbieżny w jakimś punkcie przedziału $[a,b]$. Wtedy powyższy ciąg całek jest zbieżny w każdym punkcie przedziału $[a,b]$ (nawet jednostajnie na $[a,b]$), oraz
$$
\lim\limits_{n\to\infty}\int f_n(x)dx=\int\lim\limits_{n\to\infty}f(x)dx.
$$

### Kryterium Weierstrassa
Jeżeli $|f_n(x)|\le a_n$ dla $n=1,2,\dots$ i $x\in E$, oraz szereg $\sum_{n=1}^\infty a_n$ jest zbieżny, to szereg funkcyjny
$$
\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)
$$
jest zbieżny jednostajnie na zbiorze $E$.

### Szeregi potęgowe
1. Szereg potęgowy
$$
f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n
$$
jest zbieżny jednostajnie na każdym przedziale domkniętym (zawierającym swoje końce) $[x_0-r,x_0+r]$ zawartym <u>wewnątrz</u> przedziału zbieżności, to znaczy $r\lt R$:
$$
[x_0-r,x_0+r]\subset (x_0-R,x_0+R).
$$
2. Szereg pochodnych
$$
\sum\limits_{n=1}^\infty na_n(x-x_0)^{n-1} =
\sum\limits_{n=0}^\infty(n+1)a_{n+1}(x-x_0)^n
$$
ma ten sam promień zbieżności $R$ co szereg wyjściowy, a więc jest też zbieżny jednostajnie w każdym przedziale domkniętym $[x_0-r,x_0+r]$ dla $r\lt R$.
3. Szereg potęgowy można więc różniczkować i całkować wyraz za wyrazem wewnątrz przedziału zbieżności $(x_0-R,x_0+R)$

### Wniosek 15.10
Szereg potęgowy $\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$, którego promień zbieżności $R\gt0$ określa na przedziale $(x_0-R,x_0+R)$ funkcję nieskończenie wiele razy różniczkowalną
$$
f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n,
$$
dla której
$$
f^{(n)}(x_0) = n!a_n.
$$
### Wniosek 15.11
Szereg Taylora funkcji danej szeregiem to ten sam szereg.

### Wniosek 15.12
Jeżeli dwa szeregi potęgowe o promieniach większych od zera są sobie równe na jakimś przedziale $(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)$, to muszą być sobie identyczne:
$$
a_n\equiv b_n\quad n=0,1,\dots.
$$
### Sprawdzanie jednostajnej zbieżności
Niech $f_n(x)\to f(x)$ w każdym punkcie $x\in E$.
1. Jeżeli $|f_n(x)-f(x)|\le \alpha_n$ dla każdego $x\in E$ i $\alpha_n\to0$, to $f_n\to f$ jednostajnie na $E$.
2. Jeżeli istnieje ciąg $\{x_n\}\subset E$ taki, że $|f_n(x_n)-f(x_n)|$ nie jest zbieżny do $0$, to $f_n$ nie jest zbieżny jednostajnie do $f$ na $E$.
3. Jeżeli $E=E_1\bigcup E_2$ oraz $f_n\to f$ jednostajnie na $E_1$ oraz jednostajnie na $fE_2$, to $f_n\to f$ jednostajnie na $E$. W praktyce oznacza to, że zbieżność jednostajną można sprawdzać przedziałami.