# Funkcje ciągłe, Pochodna i Całki

[ToC]

## Funkcje ciągłe

### Definicja
Mówimy, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x$ swojej dziedziny, jeżeli
$$
\begin{aligned}
f(x) = \lim\limits_{y\to x}f(y).
\end{aligned}
$$
Mówimy, że funkcja jest ciągła na zbiorze $A\subset D_f$ jeżelu jest ciągła w każdym punkcie $x\in A$. Jeżeli funkcja jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedzimy, to mówimy po prostu że jest ciągła. Inaczej
$$
\begin{aligned}
\forall\;x_0\in A\quad \lim\limits_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)
\end{aligned}
$$
#### Definicja Cauchy'ego
$$
\begin{aligned}\quad
\forall\;\epsilon\gt0\quad
\exists\;\delta\gt0\quad
\forall\;y\in D_f\qquad
|y-x|\lt\delta\implies
|f(y)-f(x)|\lt\epsilon
\end{aligned}
$$
#### Definicja Heinego
$$
\begin{aligned}\quad
\forall\;\{x_n\}\subset D_f\quad
x_n\to x\implies
f(x_n)\to f(x)
\end{aligned}
$$
### O ciągłości funkcji elementarnych

Wszystkie funkcje elementarne, czyli wielomiany, funkcje wymierne, trygonometryczne, funkcje potęgowa i wykładnicza są ciągłe.

### O ciągłości działań na funkcjach ciągłych

Suma, różnica, iloczyn, iloraz oraz złożenie funkcji ciągłych są ciągłe w każdym punkcie, w którym operacja jest wykonalna.

### Własności funkcji ciągłych
* Funkcja $f$ ciągła na przedziale $[a,b]$ (skończonym i zawierającym końce) jest ograniczona.
* Funkcja $f$ ciągła na przedziale $[a,b]$ (skończonym i zawierającym końce) przyjmuje swoje wartości największą i najmniejszą.
* **Własność Darboux**. Funkcja $f$ jest ciągła na przedziale $[a,b]$ przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy swoją wartością największą M i najmniejszą m. Innymi słowy, zbiorem wartości funkcji ciągłej na przedziale $[a,b]$ jest przedział $[m,M]$.
* Jeżeli funkcja $f$ jest ciągła na przedziale $[a,b]$ i różnowartościowa, to funkcja $g$, odwrotna do $f$, jest ciągła na zbiorze wartości $f$, czyli na przedziale $[m,M]$, gdzie stałe $m$ i $M$ oznaczają, podobnie jak w poprzednim twierdzeniu wartości najmniejszą i największą funkcji $f$ na przedziale $[a,b]$.
* Funkcja $\log_a(x)$ jest ciągła na $(0,\infty)$, jako funkcja odwrotna do funkcji ciągłej $a^x$ ($a\gt 0$, $a\neq1$).

## Pochodna

### Definicja
Pochodną funkcji $f$ w punkcie $x$ nazywamy granicę
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h,
\end{aligned}
$$
o ile granica isnieje. Jeżeli isnieje, to mówimy, że $f$ jest różniczkowalna w punkcie x (albo że "ma pochodną" w punkcie $x$). Pochodną funkcji $f$ w punkcie $x$ oznaczamy
$$
\begin{aligned}
f'\quad ("f\text{ prim}")\quad lub\quad \frac {df}{dx}\quad ("df\;po\;dx")
\end{aligned}
$$
#### Uwagi
* Pochodna funkcji $f$ też jest funkcją, której dziedziną jest zbiór punktów, w których $f$ jest różniczkowalna. Obliczanie pochodnej nazywa się "różniczkowaniem" funkcji.
* Iloraz
$$
\begin{aligned}
\frac{f(x+h)-f(x)}h,
\end{aligned}
$$
Nazywamy "ilorazem różnicowym". Iloraz różnicowy, czyli przyrost funkcji podzielony przez przyrost argumentu wyznacza średnią prędkość wzrostu funkcji $f$ na przedziale $[x,x+h]$ (jeżeli $h\gt 0$, w przeciwnym wypadku na przedziale $[x+h,x]$). Stąd interpretacja pochodnej jako chwilowej prędkości zmian funkcji.
* Pochodna ma też interpretacją geometryczną. Iloraz różnicowy to tangens kąta nachylenia $\varphi$ siecznej wykresu, poprowadzonej przez punkty $(x, f(x))$ i $(x+h,f(x+h))$. Gdy $h\to0$ sieczna staje się styczną, więc w interpretacji geometrycznej pochodnato tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu w punkcie $(x,f(X))$. Istnienie pochodnej oznacza po prostu istnienie stycznej do wykresu, rozumianej jako granica siecznych.
* Powyższy iIloraz można zapisać jako
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},
\end{aligned}
$$
używając zmiennej $x_o = x+h$.
* Pochodna może nie istnieć. Na przykład, dla funkcji $f(x) = |x|$.
* Pochodną funkcji $f$ definiujem w punktach "wewnętrznych" dziedziny, to znaczy takich punktach $x$, które należą do dziedziny $f$ z pewnym otoczeniem $(x-\delta,x+\delta)$.
* Jeżeli $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x$ to jest także ciągła w $x$.

### Działania na pochodnych
Jeżeli $f$ i $g4 są różniczkowalne w punkcie $x$, to także $f\pm g$, $f\cdot g$ i (jeżeli dodatkowo $g(x)\neq0$) $\frac fg$ są różniczkowalne w punkcie $x$ oraz mamy wzory
* $(f\pm g)'(x) = f'(x)\pm g'(x)$,
* $(f\cdot g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ (tak zwana reguła Leibniza),
* $\left(\frac fg\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$, (jeżeli $g(x) \neq0$).

### Twierdzenie o różniczkowaniu funkcji odwrotnej
Niech funkcja $f$ określona na przedziale $[a,b]$ będzie ciągła i różnowartościowa, oraz różniczkowalna w punkcie $x\in(a,b)$, przyczym $f'(x)\neq0$. Niech $g$ będzie funkcją odwrotną do $f$. Wtedy $g$ jest różnowartościowa w punkcie $y = f(x)$, i zachodzi wzór:
$$
\begin{aligned}
g'(x) = \frac1{f'(x)}.
\end{aligned}
$$
### Pochodna funkcji wykładniczej
Dla funkcji $f(x) = \log x$ funkcją odwrotną jest $g(y) = e^y$. Ustalmy $y = \log x$ czyli $x = e^x$, i otrzymujemy
$$
\begin{aligned}
g'(y) = (e^y)' = \frac 1{log'(x)} = \frac1{\frac1x} = x = e^y.
\end{aligned}
$$
Mamy więc $(e^x)' = e^x$
### Extrema funkcji
Mówimy że w punkcie $x$ funkcja $f$ ma maksimum (czasem podkreślamy: lokalne maksimum), jeżeli
$$
\begin{aligned}
f(y)\le f(x)\text{, dla $y\in D_f$ z pewnego otoczenia $x$.}
\end{aligned}
$$
Podobnie, mówimy, że ma w $x$ minimum (lokalne minimum), jeżeli
$$
\begin{aligned}
f(y)\ge f(x)\text{, dla $y\in D_f$ z pewnego otoczenia $x$.}
\end{aligned}
$$
#### Definicja monotoniczności funkcji przy użyciu pochodnych
Jeżeli $f'(x)\gt0$ to w pewnym otoczeniu punktu $x$ mamy
$$
\begin{aligned}
f(y)\gt f(x)\quad \text{dla }y\gt x\quad oraz\quad f(y)\lt f(x)\quad\text{dla }y\lt x.
\end{aligned}
$$
Podobnie, jeżeli $f'(x)\lt0$ to w pewnym otoczeniu punktu $x$
$$
\begin{aligned}
f(y)\lt f(x)\quad \text{dla }y\gt x\quad oraz\quad f(y)\gt f(x)\quad\text{dla }y\lt x.
\end{aligned}
$$
#### Extremum funkcji przy użyciu pochodnej
Jeżeli $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x$ i ma w tym punkcie extremum, to $f'(x) = 0$ (nie koniecznie działa na odwrót).

### Twierdzenie Rolle'a
Niech $f(x)$ będzie ciągła na przedziale $[a,b]$, i różniczkowalna w $(a,b)$. Załóżmy, że $f(a) = f(b)$. Wtedy istnieje $c\in(a,b)$ takie, że $f'(c) = 0$.

### Twierdzenie O wartości średniej
Jeżeli $f$ jest ciągła na $[a,b]$, i różniczkowalna na $(a,b)$, to istnieje punkt $c\in(a,b)$ taki że
$$
\begin{aligned}
\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c).
\end{aligned}
$$
### Monotoniczność funkcji - pochodna
Jeżeli na jakimś przedziale $(a,b)$ mamy:
* $f'\ge0$ to funkcja $f$ jest rosnąca na $(a,b)$,
* $f'\le0$ to funkcja $f$ jest malejąca na $(a,b)$,
* $f' = 0$ to funkcja $f$ jest stała na $(a,b)$,
### Reguła łańcuchowa
Niech funkcje $f$ i $g$ będą różniczkowalne. Załóżmy, że złożenie $g\circ f$ będzie określone, to znaczy wartości $f$ wpadają do dziedziny $g$. Wtedy złożenie $g\circ f$ też jest funkcją różniczkowalną i zachodzi następujący wzór na jej pochodną:
$$
\begin{aligned}
(g\circ f)'(x) = g'(f(x))f'(x).
\end{aligned}
$$
### Pochodna wielomianu
Niech $f(x) = x^a$, gdzie $a$ jest dowolną potęgą rzeczywistą. Mamy wtedy
$$
\begin{aligned}
x^a = e^{a\log x}\implies (x^a)' = e^{a\log x}(a\log x)' = x^a\cdot\frac ax = ax^{a-1}
\end{aligned}
$$
### Reguła de l'Hopitala
Jeżeli istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa)
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}
\end{aligned}
$$
Wtedy istnieje także granica
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)},
\end{aligned}
$$
i obie granice są sobie równe
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}
\end{aligned}
$$

### Pochodne funkcji cyklometrycznych

| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|:------------:|:-------------------------:|
| $\arcsin(x)$ | $\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arccos(x)$ | $\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\arctan(x)$ | $\frac1{1+x^2}$ |

### Pochodne wyższych rzędów
Jeżeli pochodna $f'$ sama jest różniczkowalna, to jej pochodn, jest tak zwaną drugą pochodną funkcji $f$
$$
\begin{aligned}
(f')'(x) = f''(x) = f^{(2)}(x)
\end{aligned}
$$
Podobnie możemy obliczyć pochodne dowolnego rzędu $f^{(n)}$ (jeżeli funkcja $f$ jest różniczkowalna odpowiednią ilość razy). Piszemy $f^{(0)} = f$.

#### Pochodna n-tego stopnia f

| $f(x)$ | $f^{(n)}(x)$ |
| -------- | -------- |
| $x^k$ | $$\begin{cases}n!\binom{k}{n}x^{k-n},\qquad &\text{dla $n\le k$,}\\0,\qquad &\text{dla $n\gt k$}\end{cases}$$ |
|$\sin(ax)$|$$\begin{cases}a^n\sin(ax),\qquad&\text{dla $n\mod 4 = 0$}\\ a^n\cos(ax),\qquad&\text{dla $n(\mod 4)=1$}\\-a^n\sin(ax),\qquad&\text{dla $n(\mod 4)=2$}\\-a^n\cos(ax),\qquad&\text{dla $n(\mod 4)=3$}\\ \end{cases}$$|
|$\sqrt{x-a}$|$\frac1{2^n}(-1)^{n-1}\frac{(2n-2)!}{2^{n-1}(n-1)!}(x-a)^{-\frac{2n-1}2}$

### Uzupełnienie o ekstremach funkcji
Jeżeli w pewnym punkcie $x$ $f'(x) = 0$ i $f''(x) \neq 0$ to $f$ ma w $x$ ekstremum.
Jeżeli $f''(x)\lt0$ to jest to maksimum, a jeżeli $f''(x)\gt0$ to jest to minimum.

### Badanie przebiegu funkcji
1. Ustalmy **dziedzinę funkcji**, jeżeli nie jest podana jawnie. Ustalmy **punkty ciągłości, nieciągłości, różniczkowalności i nieróżniczkowalności**. Z reguły funkcja badana jest przedziałami ciągła i przedziałami różniczkowalna, więc ustalmy te przedziały.
2. Sprawdźmy **parzystość i okresowość funkcji**.
* Jeżeli $f$ jest parzysta to znaczy $f(-x) = f(x)$ lub nie parzysta, to znaczy $f(-x) = -f(x)$, to wystarczy zbadać jej przebieg dla $x\gt0$ a nastepniewyniki odpowiednio przenieść na $x\lt0$.
* Jeżeli funkcja jest okresowa, to znaczy istnieje $T$ takie, że $f(x+T) = f(x)$, to wystarczy zbadać funkcję na dowolnym przedziale długości jednego okresu.
3. **Ustalamy pierwiastki funkcji**, czyli punkty $x$ w których
$$
\begin{aligned}
f(x) = 0
\end{aligned}
$$
oraz ustalamy przedziały, na których funkcja zachowuje znak.
4. Ustalamy **przedziały monotoniczności** i wyznaczamy **ekstrema lokalne**. Badamy **znak pochodnej**. Można z tego wyciągnąć wnioski na temat ekstremów.
5. Badamy **wypukłość funkcji**
* Jeżeli funkcja $f$ ma drugą pochodną i na jakimś przedziale $f''(x)\gt0$, to mówimy, że jest na tym przedziale **wypukła**.
* Jeżeli na jakimś przedziale $f''(x)\lt0$ to mówimy że jest na tym przedziale **wklęsła**.
* Jeżeli w jakimś punkcie funkcja zmienia się z wypukłej na wklęsłą, albo na odwrót, to taki punkt nazywamy **punktem przegięcia**. Taki punkt jest punktem ekstremalnym pochodnej.
* Znajdujemy **punkty przegięcia**, i określamy **przedziały wypukłości/wklęsłości**. Wypukłość i wklęsłość mają interpretację geometryczną. Na odcinku, na którym funkcja jest wypukła, styczne do wykresu leżą pod wykresem, a sieczne nad wykresem. Jeżeli funkcja jest wklęsła to odwrotnie, styczne leżą nad wykresem a sieczne pod.
6. Znajdujemy ewentualne **asymptoty**. Asymptoty mogą być różnego rodzaju.
* Jeżeli w jakimś punkcie $a$ mamy $\lim_{x\to a^\pm}f(x) = \pm\infty$, to prostą pionową o równaniu $x = a$ nazywamy **asymptotą pionową funkcji**.
* Jeżeli istnieje granica $\lim_{x\to\pm\infty}f(x) = \pm\infty$, to prostą poziomą o równaniu $y = A$ nazywamy **asymptotą poziomą funkcji** w $+\infty$ (lub w $-\infty$).
* Jeżeli istnieje stała $m$ taka, że istnieje granica $\lim_{x\to\pm\infty}(f(x) - mx) = c$, to prostą o równaniu $y = mx + c$ nazywamy asymptotą ukośną funkcji w $+\infty$ (lub w $-\infty$). Asymptota pozioma to szczególny przypadek **asymptoty ukośnej**, dla której $m = 0$. Jeżeli funkcja $f$ ma w $+\infty$ albo $-\infty$ asymptotę ukośną, to stała $m$ jest równakażdej z granic
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x,\quad \lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x+1)-f(x)),\quad\lim\limits_{x\to\pm\infty}f'(x),
\end{aligned}
$$
(ostatnia granica może nie istnieć, nawet jeżeli asymptota ukośna istnieje).
Należy jednak pamiętać, że istnienie którjekolwiek tych granic nie gwarantuje jeszcze istnienia asymptotu ukośnej. Żeby istniała asymptota ukośna musi jeszcze istnieć granica
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to\pm\infty}(f(x)-mx) = c
\end{aligned}
$$

### Wzór Taylora
Jeżeli $f$ jest $n$ razy różniczkowalna w punkcie $x_0$ i $\mathbb{P}_n$ jest jej wielomianem Taylora stopnia $n$ w $x_0$, to
$$
\begin{aligned}
f(x) = \mathbb{P}_n(x) + e_n(x)(x-x_0)^n,
\end{aligned}
$$
gdzie
$$
\begin{aligned}
\lim\limits_{x\to x_0}e_n(x) = 0.
\end{aligned}
$$
Jeżeli o $\mathbb{P}_n(x)$ myślimy jako o przybliżeniu $f(x)$, to powyższy wzór daje nam oszacowanie tego przybliżenia - tym błędem jest $e_n(x)(x-x_0)^n$.

### Wzór Taylora z resztą w postaci Lagrange'a
Załóżmy, że $f$ jest różniczkowalna $n+1$ razy w pewnym otoczeniu punktu $x_0$. Jeżeli $x$ należy do tego otoczenia, to istnieje punkt $c_x$, pomiędzy $x_0$ i $x$, taki, że
$$
\begin{aligned}
f(x) = \mathbb{P}_n(x) + \frac{f^{(n+1)}(c_x)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}.
\end{aligned}
$$
Punkt $c_x$ często zapisuje się w postaci $c_x = x_0 + \theta(x-x_0)$, dla pewnego $\theta\in(0,1)$.

### Szereg Taylora
Tak zwany szereg Taylora funkcji $f$ w punkcie $x_0$. Ze wzoru Taylora wynika, że szereg ten jest zbieżny do $f(x)$ dokładnie wtedy, gdy reszta dąży do $0$ (dla ustalonego $x$ i $n\to0$). Mamy wtedy wzór
$$
\begin{aligned}
f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
\end{aligned}
$$
Jest to tak zwane rozwinięcie $f$ w szereg Taylora wokół punktu $x_0$.
#### Uwagi
* Ten wzór zachodzi bardzo często, ale nie zawsze. Nawet jeżeli funkcja $f$ jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w otoczeniu punktu $x_0$, to ten szereg może nie być zbieżny poza $x_0$. Co więcej, nawet jeżeli ten szereg jest zbieżny, to może się zdarzyć, że jest zbieżny do funkcji innej niż $f$.
* W szczególnym przypadku $x_0 = 0$ szereg Taylora nosi też nazwę szeregu Maclaurina.
#### Przykłady szeregu Maclaurina
| $f(x)$ |Postać ogólna|Postać rozpisana|
|:---------:|:-----------:|:--------------:|
| $\sin(x)$ | $\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $x-\frac {x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!} + \cdots$ |
| $\cos(x)$ | $\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ | $1-\frac {x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!} + \cdots$ |
| $e^x$ |$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$|$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$|
|$\log(1+x)$|$\sum\limits_{n = 1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{x^n}n$|$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}4+\cdots$|
## Całki
### Funkcja pierwotna
Funkcję $F$ nazywamy funkcją pierwotną funkcji $f$, jeżeli $F$ jest różniczkowalna i $F'(x) = f(x)$ dla każdefo $x\in D_f$.
#### Uwagi
* Funkcja $f$ może nie mieć funkcji pierwotnej. Jeżeli ma funkcję pierwotną, to ma ich nieskończenie wiele:
$$
\begin{aligned}
F'(x) = f(x)\implies(F(x) + c) = F'(x) = f(x)
\end{aligned}
$$
Jeżeli $F$ jest funkcją pierwotną funkcji $f$, to $F+c$ także jest funkcją pierwotną $f$, dla dowolnej stałej $c$.
* Jeżeli $F$ i $G$ są funkcjami pierwotnymi tej samej funkcji $f$, to $(F-G)'(x) = F'(x) - G'(x) = 0$, dla każdego $x\in D_f$. Na każdym przedziale zawartym w dziedzinie funkcji $f$ funkcje pierwotne $F$ i $G$ różnią się więc o jakąś stałą. Stała ta może być różna na różnych przedziałach.

## Całka nieoznaczona
Jeżeli funkcja $f$ ma funkcję pierwotną, to mówimy, że jest całkowalna. Dowolnąfunkcję pierwotną funkcji całkowalnej $f$ nazywamy jej załką nieoznaczoną, i oznaczamy
$$
\begin{aligned}
\int f(x)dx
\end{aligned}
$$
Określenie "całka nieoznaczona" odnosi się więc do całej rodziny funkcji, które na poszczególnych przedziałach $D_f$ różnią się o stałą.

### Tablica Całkowania

| $f(x)$ | $\int f(x) dx$ |
|:----------------------:|:-------------------------------------------------:|
| $0$ | $c$ |
| $a$ | $ax+c$ |
| $x^n$ | $\frac{x^{x+1}}{x+1}+c$ |
| $\frac 1x$ | $\ln\lvert x\rvert+c$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{2\sqrt{x^3}}3+c$ |
| $\sin x$ | $-\cos x+c$ |
| $\cos x$ | $\sin x+c$ |
| $\frac1{\cos^2 x}$ | $\tan x+c$ |
| $e^x$ | $e^x+c$ |
| $\frac x{1+x^2}$ | $\ln\sqrt{1+x^2}$ |
| $\tan x$ | $-\ln\lvert\cos x\rvert+c$ |
| $\ln x$ | $x\ln x - x+c$ |
| $\frac1{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x+c$ |
| $\sin^2x$ | $\frac{-\sin(x)\cos(x) + x}2$ |
| $e^{ax}\cos(bx)$ | $\frac{ae^{ax}\cos(bx)+be^{ax}\sin(bx)}{a^2+b^2}$ |
| $e^{ax}\sin(bx)$ | $\frac{ae^{ax}\sin(bx)-be^{ax}\cos(bx)}{a^2+b^2}$ |
### Właściwości całek
$$
\begin{aligned}
(a)\qquad
\int& (f(x)\pm g(x))dx = \int f(x)dx\pm\int g(x)dx,\\
(b)\qquad
\int& a\;f(x)dx = a\int f(x)dx,\quad a\text{ - dowolna stała}\\
(c)\qquad
\int&f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)dx,\\
&\text{(tak zwany wzór na całkowanie przez części)}\\
(d)\qquad
\int&(g\circ f)(x)f'(x)dx = \int g(y)dy\quad\text{przy czym}\quad y = f(x),\\
&\text{(tak zwany wzór na całkowanie przez podstawienie).}
\end{aligned}
$$
### Całkowanie funkcji wymiernych
#### Procedura rozkładu
1. Mając wielomian $f = \frac PQ$ najpierw dzielimy wielomian $P$ przez $Q$ "z resztą", to znaczy znajdujemy wielomiany $W$ (iloraz) oraz $R$ (reszta) takie, że
$$
\begin{aligned}
P(x) = W(x)\cdot Q(x) + R(x),\implies \frac {P(x)}{Q(x)} = W(x) + \frac{R(x)}{Q(x)},
\end{aligned}
$$
przy czym stopień reszty $R$ jest mniejszy od stopnia $Q$.
2. Po wydzieleniu części wielomianowej pozostaje nam ułamek $\frac RQ$. W następnym kroku przeprowadzamy rozkład mianownika na czynniki nierozkładalne. Czynnikami nierozkładalnymi są wielomiany liniowe $(x-a)$ oraz kwadratowe $(x^2+px+q)$, nie posiadające rzeczywistych pierwiastków. Przeprowadzamy więc rozkład mianownika $Q$ na czynniki nierozkładalne, i w efekcie przedstawiamy $Q$ jako iloczyn wyrażeń postaci
$$
\begin{aligned}
(s-a)^n\quad\text{oraz}\quad(x^2+px+q)^n.
\end{aligned}
$$
3. Mając rozkład mianownika na czynniki nieroskładalne postaci $(s-a)^n$ oraz $(x^2+px+q)^n$możemy napisać prototyp rozkładu funkcji na ułamki proste. W pierwszym kroku wypisujemy wszystkie ułamki proste, które znajdują się w roskładzie, a w następnym kroku ustalimy stałe w licznikach. Dla każdego czynnika postaci $(x-a)^n$ w rozkładzie mianownika wypisujemy $n$ ułamków prostych
$$
\begin{aligned}
\frac {A_1}{(x-a)}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_n}{(x-a)^n},
\end{aligned}
$$
natomiast dla każdego czynnika $(x^2+px+q)^n$ w rozkładzie mianownika wypisujemy $n$ ułamków
$$
\begin{aligned}
\frac{B_1x+C_1}{(x^2+px+q)}+\frac{B_2x+C_2}{(x^2+px+q)^2}+\cdots+\frac{B_nx+C_n}{(x^2+px+q)^n}.
\end{aligned}
$$
4. Na ostatnim etapie rozkładu wyznaczamy stałe w licznikach ułamków prostych. W tym celu sumę wszystkich wymaganych ułamków prostych sprowadzamy do wspólnego mianownika, którym jest wielomian $Q$. Wielomian ten musi być identyczny z wielomianem $R$. Oba wielomiany muszą więc mieć te same współczynniki. Daje to dokładnie $n$ równań.
#### Całkowanie ułamków prostych
Pierwszy rodzaj ułamków prostych daje się łatwo całkować. Mamy następujące wzory:
$$
\begin{aligned}
\int\frac{dx}{x-a}&=
\log|x-a|+c\\
\int\frac{dx}{(x-a)^n}&=\frac{-1}{n-1}\cdot\frac1{(x-a)^{n-1}}+c,\quad n\gt1\\
\end{aligned}
$$
Ułamek prosty drugiego rodzaju rozłożymy na dwa inne:
$$
\frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^n} = \frac B2\cdot\frac{2x+p}{(x^2+px+q)^n}+\frac{D}{(x^2+px+q)^n},\quad D = C - \frac 12 Bp.
$$
Pierwszy z ułamków po prawej stronie całkujemy przez podstawienie $t = x^2+px+q$
$$
\int\frac{2x+p}{(x^2+px+q)^n}dx =
\begin{cases}
\log|x^2+px+q|+c,\quad&:\ n = 1\\
\frac{-1}{(n-1)(x^2+px+q)^{n-1}}+c\quad&:\ n\gt1.
\end{cases}
$$
W celu rozwiązania drugiego ułamka wykonamy proste przekształcenie i podstawienie:
$$
\int\frac {dx}{(x^2+px+q)^n} = \int\frac {dx}{((x+\frac p2)^2+(q-\frac{p^2}4))^n} = \frac{\sqrt{a}}{a^n}\int\frac{dx}{(t^2+1)^n},
$$
gdzie
$$
t=\frac{x+\frac p2}{\sqrt a},\quad a=q-\frac{p^2}4\gt0.
$$
Gdy $n=1$ mamy
$$
\int\frac{dt}{t^2+1} = \arctan t+c
$$
natomiast dla $n\gt1$ mamy wzór rekurencyjny.
$$
\int\frac{dt}{(t^2+1)^n}=\frac t{2(n-1)(t^2+1)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\int\frac{dt}{(t^2+1)^{n-1}}.
$$