---
# System prepended metadata

title: Całkowanie funkcji wymiernych

---

# Całkowanie funkcji wymiernych
## Procedura rozkładu
1. Mając wielomian $f = \frac PQ$ najpierw dzielimy wielomian $P$ przez $Q$ "z resztą", to znaczy znajdujemy wielomiany $W$ (iloraz) oraz $R$ (reszta) takie, że
$$
\begin{aligned}
P(x) = W(x)\cdot Q(x) + R(x),\implies \frac {P(x)}{Q(x)} = W(x) + \frac{R(x)}{Q(x)},
\end{aligned}
$$
przy czym stopień reszty $R$ jest mniejszy od stopnia $Q$. Robimy to używając zwykłej procedury "dlugiego dzielenia", czy "pisemnego dzielenia", dokładnie tak samo, jako dzieląc liczby naturalne.
2. Po wydzieleniu części wielomianowej pozostaje nam ułamek $\frac RQ$, w którym licznik ma stopień niższy od mianownika. W następnym kroku przeprowadzamy faktoryzacje mianownika, czyli rozkład mianownika na czynniki nierozkładalne. Czynnikami nierozkładalnymi są wielomiany liniowe $(x-a)$ oraz kwadratowe $(x^2+px+q)$, nie posiadające rzeczywistych pierwiastków, czyli takie, dla których $p^2-4q\lt0$. każdy wielomian stopnia wyższego niż $1$ można dalej rozkładać na czynniki. W przypadku wielomianów o współczynnikach rzeczywistych ogą istnieć czynniki nierozkładalne (czyli, zgodnie z twierdzeniem Bezout, nie posiadające pierwiastków) stopniawyższego niż $2$. Przeprowadzamy więc rozkład mianownika $Q$ na czynniki nieroskładalne, i w efekcie przedstawiamy $Q$ jako iloczyn wyrażeń postaci
$$
\begin{aligned}
(s-a)^n\quad\text{oraz}\quad(x^2+px+q)^n.
\end{aligned}
$$
Rozkład mianownika na czynniki nierozkładalne to, w praktyce, główny problem w całkowaniu funkcjiwymiernych. W zadaniach które będziemy robić albo faktoryzacja będzie bardziej lub mniej oczywista, albo będzie jawnie podana. W przykladach rozpatrywanych jako ilustracja procedury faktoryzaczja jest prosta: $x^2-1=(x-1)(x+1)$ oraz $x^3-2x^3+3x-6$$=(x-2)(x^2+3)$. Jeżeli wielomian ma współczynniki całkowite, i współczynnik przy wyrazie o najwyższej potędze jest równy $1$, to w pierwszej kolejności szukamy pierwiastków skośród dzielników wyrazu wolnego. Mając pierwiastek wydzielamy odpowiedni czynnik liniowy, i otrzymujemy wielomian niższego stopnia, który "obrabiamy" do skudku. Jeżeli wielomian nie ma pierwiastków musimy sobie radzić inaczej. Na przykład rozważmy wielomian $Q(x) = x^4+1$. Wiemy, że rozkłada się na iloczyn dwóch wielomianów kwadratowych, przy czym możemy tak dobrać stałe, aby ich wyrazy wiodące miały współczynniki $1$. Piszemy więc najogólniejszą postać takiego rozkładu, a następnie mnożymy czynniki:
$$
\begin{aligned}
x^4+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) = x^4+(1+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd.
\end{aligned}
$$
Porównując współczynniki po obu stronach otrzymujemy układ równań, który będzie można rozwiązać. W naszym przypadku łatwo znajdujemy rozwiązanie
$$
\begin{aligned}
x^4+1=(x^2-\sqrt{2}x+1)\cdot(x^2+\sqrt{2}+1).
\end{aligned}
$$
3. Mając rozkład mianownika na czynniki nieroskładalne postaci $(s-a)^n$ oraz $(x^2+px+q)^n$możemy napisać prototyp rozkładu funkcji na ułamki proste. W pierwszym kroku wypisujemy wszystkie ułamki proste, które znajdują się w roskładzie, a w następnym kroku ustalimy stałe w licznikach. Dla każdego czynnika postaci $(x-a)^n$ w rozkładzie mianownika wypisujemy $n$ ułamków prostych
$$
\begin{aligned}
\frac {A_1}{(x-a)}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_n}{(x-a)^n},
\end{aligned}
$$
natomiast dla każdego czynnika $(x^2+px+q)^n$ w rozkładzie mianownika wypisujemy $n$ ułamków 
$$
\begin{aligned}
\frac{B_1x+C_1}{(x^2+px+q)}+\frac{B_2x+C_2}{(x^2+px+q)^2}+\cdots+\frac{B_nx+C_n}{(x^2+px+q)^n}.
\end{aligned}
$$
Zauważmy, że wypisując powyższy rozkład wypisaliśmy łącznie dokładnie tyle nieoznaczonych (na razie) stałych $A_i,B_i,C_i$ jaki jest stopień mianownika. Przykłady"
$$
\frac{x-3}{x^2-1} = \frac{x-3}{(x-1)(x+1)}=\frac A{x-1}+\frac B{x+1},\\
\frac{-3x^2+6x-35}{x^3-2x^2+3x-6} = \frac{-3x^2+6x-35}{(x-2)(x^2+3)}=\frac A{x-2}+\frac {Bx+C}{x^2+3}.
$$
4. Na ostatnim etapie rozkładu wyznaczamy stałe w licznikach ułamków prostych. W tym celu sumę wszystkich wymaganych ułamków prostych sprowadzamy do wspólnego mianownika, którym jest wielomian $Q$. W liczniku otrzymamy wielomian stopnia niższego niż mianownik $Q$ (gdyż wszystkie ułamki proste mają liczniki stopnia niższego niżmianownik). Wielomian ten musi być identyczny z wielomianem $R$, który jest licznikiem rozkładanej funkcji wymiernej. Oba wielomiany muszą więc mieć te same współczynniki. Daje to dokładnie n równań, gdyż wielomiany stopnia $n-1$ namą $n$ współczynników. Mamy więc n równań liniowych, i n niewiadomych, i okazuje się, że układ ten zawsze można rozwiązać. Nie będziemy tego dowodzić, ale zobaczymy jak to działa na przykładach.
$$
\frac{x-3}{x^2-1} =\frac A{x-1}+\frac B{x+1} = \frac{(A+B)x+(A-B)}{(x-1)(x+1)}
$$
czyli $A+B=1$ oraz $A-B=-3$. Otrzymujemy $A=-1$ i $B=2$, a więc w końcu
$$
\frac{x-3}{x^2-1} = \frac{-1}{x-1} + \frac{2}{x+1}
$$
(b):
$$
\begin{aligned}
\frac{-3x^2+6x-35}{x^3-2x^2+3x-6} &= \frac A{x-2} + \frac {Bx+C}{x^2+3} \\
                                  &= \frac {A(x^2+3)+(Bx+C)(x-2)}{(x-2)(x^2+3)} \\
                                  &= \frac {(A+B)x^2 + (-2B+C)x + (3A-2C)}{(x-2)(x^2+3)}
\end{aligned}
$$
czyli $A+B=-3$, $-2B+C = 6$ oraz $3A-2C=-35$. Rozwiązując ten układ otrzymujemy $A=-5$, $B=2$ i $C=10$, i w końcu
$$
\frac{-3x^2+6x-35}{x^3-2x^2+3x-6} = \frac {-5}{x-2} + \frac {2x+10}{x^2+3}
$$
## Całkowanie ułamków prostych
Pierwszy rodzaj ułamków prostych daje się łatwo całkować. Mamy następujące wzory:
$$
\int\frac{dx}{x-a}=
\log|x-a|+c\\
\int\frac{dx}{(x-a)^n}=\frac{-1}{n-1}\cdot\frac1{(x-a)^{n-1}}+c,\quad n\gt1\\
$$
Ułamek prosty drugiego rodzaju rozłożymy na dwa inne:
$$
\frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^n} = \frac B2\cdot\frac{2x+p}{(x^2+px+q)^n}+\frac{D}{(x^2+px+q)^n},\quad D = C - \frac 12 Bp.
$$
Pierwszy z ułamków po prawej stronie całkujemy przez podstawienie $t = x^2+px+q$
$$
\int\frac{2x+p}{(x^2+px+q)^n}dx =
\begin{cases}
\log|x^2+px+q|+c,\quad&:\ n = 1\\
\frac{-1}{(n-1)(x^2+px+q)^{n-1}}+c\quad&:\ n\gt1.
\end{cases}
$$
W celu rozwiązania drugiego ułamka wykonamy proste przekształcenie i podstawienie:
$$
\int\frac {dx}{(x^2+px+q)^n} = \int\frac {dx}{((x+\frac p2)^2+(q-\frac{p^2}4))^n} = \frac{\sqrt{a}}{a^n}\int\frac{dx}{(t^2+1)^n},
$$
gdzie
$$
t=\frac{x+\frac p2}{\sqrt a},\quad a=q-\frac{p^2}4\gt0.
$$
Gdy $n=1$ mamy
$$
\int\frac{dt}{t^2+1} = \arctan t+c
$$
natomiast dla $n\gt1$ mamy wzór rekurencyjny.
$$
\int\frac{dt}{(t^2+1)^n}=\frac t{2(n-1)(t^2+1)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\int\frac{dt}{(t^2+1)^{n-1}}.
$$