Pauling's rules
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是一種透過觀察晶體結構與離子化合物歸納得出的經驗法則。

離子多面體是指取一離子，並且考慮與其相鄰的其他離子為頂點構成的多面體，
如：取一陰離子，其配位數為 4，則周遭陽離子數量為 4，將陽離子位置為頂點連成多邊形，可得一四面體，該四面體即為離子多面體。

第一規則：半徑比規則（the radius ratio rule）
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對於陶瓷晶體來說，陽離子半徑小於陰離子半徑，因此陽離子能夠填入陰離子的晶格間隙之中。

陽離子的配位數取決於其填入格隙的位置，並且對於陰離子而言，不同的格隙位置有著不同的最小半徑要求，因為當填入的陽離子小於最小半徑，會造成結構不穩定，至少以硬球模型來解釋十分合理。


### 數學推導
$$
R_s = \frac{r}{R}
$$
$R_s$：最小陽離子半徑比
$r$：陽離子半徑
$R$：陰離子半徑

#### CN = 2
直到陽離子半徑為0都能保持穩定，因此最小穩定半徑為0。
$R_s = 0|CN = 2$

#### CN = 3

$$
\cos 30^\circ = \frac{R}{R+r} \\
(R +r) \sqrt3 = 2R \\
\sqrt 3 r = (2-\sqrt 3)R \\
r = \frac{(2-\sqrt 3)}{\sqrt 3} R = 0.155R \\
\therefore R_s = 0.155 | CN = 3
$$

#### CN = 4
$$
\cos(\frac{180^\circ-109.5^\circ}{2}) = \frac{R}{R+r} \\
0.8166(R+r) = R \\\
0.8166r = (1-0.8166)R \\
r = \frac{(1-0.8166)}{0.8166}R = 0.225R \\
\therefore R_s = 0.225 | CN=4
$$

#### CN = 6
$$
\cos 45^\circ = \frac{R}{R+r} \\
0.707(R+r) = R \\
0.707 r = (1-0.707)R \\
r = \frac{(1-0.707)}{0.707}R = 0.414 R \\
\therefore R_s = 0.414 | CN = 6
$$

#### CN = 8

$$
\vec v = (2R,2R,2R) \\
|\vec v| = \sqrt{ (2R)^2 + (2R)^2 + (2R)^2 }= 2(R+r) \\
2\sqrt3 R = 2R +2r\\
r = (\sqrt3 -1 )R = 0.732R \\
\therefore R_s = 0.732 | CN = 8
$$

第二規則：電荷價數法則（the electrostatic valence rule）
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$$
s = \frac{z}{\nu}
$$
s：對任意陰離子而言的離子鍵強度
z：陽離子價數
$\nu$：陽離子配位數

以 $\text{LiO}_2$ 為例
綠色：Li+，白色O2−

其陽離子配位數為 4，
其陽離子價數為 1，
其陰離子配位數為 8，
因此它的$s=0.25$。

$$
\xi =\sum _{{i}}s_{i}
$$

$\xi$：陰離子的價數
$s_i$：陰離子相鄰陽離子的離子鍵強度

一個穩定的離子結構應該是電中性的，
因此對於一個陰離子而言，
他所受到的陽離子牽引鍵結力應該等於自身的電荷價數。

第三規則：多面體共頂、共邊、共面規則（sharing of polyhedron corners, edges and faces）
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當離子多面體共用邊或是面時，會降低結構穩定性，
因此結晶結構傾向於共用頂點，
上述之共用情形是指相同極性的離子其多面體共用之情形，
如：兩個陰離子多面體共用邊或是面。

其原因是，相較於共用頂點，共用邊和共用面會造成相同極性的離子距離較近，其電荷互斥力較大。

若兩個四面體共頂時距離為 1，當它們共邊與共面時的距離為 0.58, 0.33；
若兩個八面體共頂時距離為 1，當他們共邊與共面時的距離為 0.71, 0.58。

第四規則：不同配位多面體連續接觸規則（crystals containing different cations）
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在含有不同陽離子的晶體中，高價和小配位數的晶體往往不會彼此共享多面體元素。該規則傾向於增加高電荷陽離子之間的距離，以減少它們之間的靜電排斥。

以橄欖石 $M_2SiO_4$ 為例，其中 M 是混和了 $Mg^{2+}$ 和 $Fe^{2+}$ 兩種陽離子，
$Mg^{2+}$ 和 $Fe^{2+}$ 的離子多面體不會共用氧原子。

第五規則：簡約規則（the rule of parsimony）
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晶體中重複單元結構的種類傾向於最小，
因為不同種類的重複單元，彼此的規則性與週期性會互相干擾。

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透過這五種規則，可透過一物質的部份資訊來推論其他資訊，如：
- 用離子半徑得知最小配位數（第一規則）
- 用離子價數推測配位數（第二規則）
- 結構傾向更高的配位數（第三規則）

Reference
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https://en.wikipedia.org/wiki/Pauling%27s_rules

https://baike.baidu.com/item/%E9%B2%8D%E6%9E%97%E8%A7%84%E5%88%99

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