勞厄方程式（Laue equations）
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令$s_0$,$s$為入射束和繞射束的單位向量，
（即發生建構性干涉，其餘破壞性干涉的波前都被破壞掉了）
這兩個向量的波程差可記作：
$$
\Delta =| \overline{R_2A} - \overline{R_1B} |
$$

上述的兩個線段可以被計算：

$$
\overline{R_2A} = \vec s \cdot \vec r_{12} \\
\overline{R_1B} = \vec s_0 \cdot \vec r_{12}
$$

因此：

$$
\Delta = | \vec r_{12} \cdot ( \vec s - \vec s_0 ) |
$$

我們定義一個「散射向量」$\vec S = \vec s - \vec s_0$，整理成：

$$
\Delta = | \vec r_{12} \cdot \vec S | = \vec r_{12} \cdot \vec S
$$

在晶體材料中，這個$\vec r_{12}$可以為任意兩個晶格點之間的向量，
並且這個向量可以理解為某兩個平面之間的向量，（即光柵向量）
其方向為平面法線方向；其純量為平面間距。
稱為晶格向量$\vec R$

$$
\Delta = \vec R \cdot \vec S
$$

波程差必須為波長的整數倍（建構性干涉的發生條件），因此：

$$
\vec R \cdot \vec S = n \lambda
$$

這時我們引入倒置晶格來處理：

$$
\vec R \cdot \vec S \cdot \vec G = n \lambda \vec G \\
2 \pi \vec S = n \lambda \vec G \Big| \vec R \cdot \vec G = 2 \pi
$$

為了簡化公式，我們使用材料領域的倒置晶格，並把 n 帶入 1：
$$
\frac1{\lambda} \vec S = \vec G
$$


記得我們的 S 原本是長度為1的兩個向量，分別代表入射束與繞射束，
如果我們把 S 乘上波長的倒數，就會等於某個倒置晶格點，
這個推導結果代表什麼呢？
代表繞射晶格點符合這個公式：

> 會發生繞射的倒置晶格點**必然**在某個半徑為$\frac1{\lambda}$的球面上，

也就是我們推導出了「愛德華球」的概念。

### 布拉格方程式
我們準備將 3 個條件帶入剛剛導出來的公式：

$$
\vec S = n \lambda \vec G
$$

- 只考慮純量，刪除其中部份能夠描述三維環境的資訊
- $S = 2 \sin \theta$
- $G = \frac1{d}$

$S= 2 \sin \theta$ 可以從這張圖看出來：
因為我們一開始就是假設入射向量與繞射向量的長度為 1，應該不難理解吧。

$G = \frac1{d}$ ，則是倒置晶格定義，其純量為真實空間「平面間距的倒數」。

於是我們就能得到大名鼎鼎的布拉格方程式了：
$$
2d \sin \theta = n \lambda
$$

所以我們可以知道布拉格方程式其實是勞厄方程式的特例，
它把資訊從三維空間壓縮成純量了。

### reference

https://en.wikipedia.org/wiki/Laue_equations

https://nanohub.org/resources/4111/download/2008.02.20-mse640-l4.pdf

http://monoceros.physics.muni.cz/~jancely/teamCMV/Texty/RuzneTexty/Krystaly/LaueEquation.pdf

http://kiwiphysics.blogspot.com/2014/05/blog-post_19.html

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