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title: 如何計算米勒指標平面族數量？
tags: [learning note, 材料]

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如何計算米勒指標平面族數量？
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我們知道在一個二維的直角坐標系可以分成四個向量，
接著想像一個向量$(\sqrt3,1)$，

![](https://i.imgur.com/Gmlll7G.png)

若規定一組向量在x,y軸的分量只能由 $-1,1,-\sqrt3,\sqrt3$ 構成，
在這個平面空間中以原點為中心，有多少與之對稱的向量？
不難想像總共有八個：
![](https://i.imgur.com/NcaePug.png)

若用集合來處理可以寫作：
$$
S=
\{
\{1,-1\},
\{\sqrt3,-\sqrt3\}
\}
$$

我們先處理內部的集合：$\{1,-1\},\{\sqrt3,-\sqrt3\}$

可以發現有 $2*2$ 種排列方式，如果要窮舉的話就是：
$(1,-1),(\sqrt3,-\sqrt3)$
$(-1,1),(\sqrt3,-\sqrt3)$
$(1,-1),(-\sqrt3,\sqrt3)$
$(-1,1),(-\sqrt3,\sqrt3)$

接著我們把$\{\{1,-1\},\{\sqrt3,-\sqrt3\}\}$當成$\{A,B\}$來看，
總共有 $\frac{2!}{1!*1!}$ 種排列

因此對這個集合而言，排列數為：
$$
P(S) = (2\cdot2)\frac{2!}{1!\cdot1!}
$$
前部份是排列組合的乘法原理，後部份則是不盡相異物直線排列。

這種方法同樣可以用在平面族的處理上，
接著我們來看看一些例題。
### 問：{100}平面族總共有幾個平面？
$$
S=
\{
\{1,\overline 1\},
\{0\},
\{0\}
\}
$$

$$
P(S) = 
(2\cdot1\cdot1)\frac{3!}{2!\cdot1!} = 6
$$

### 問：{111}平面族總共有幾個平面？
$$
S=
\{
\{1,\overline 1\},
\{1,\overline 1\},
\{1,\overline 1\}
\}
$$

$$
P(S)=
(2\cdot2\cdot2)\frac{3!}{3!\cdot1!\cdot1!} = 8
$$

### 問：{123}平面族總共有幾個平面？
$$
S=
\{
\{1,\overline 1\},
\{2,\overline 2\},
\{3,\overline 3\}
\}
$$

$$
P(S)=
(2\cdot2\cdot2)\frac{3!}{1!\cdot1!\cdot1} = 48
$$

### 問：{103}平面族總共有幾個平面？
$$
S=
\{
\{1,\overline 1\},
\{0\},
\{3,\overline 3\}
\}
$$

$$
P(S)=
(2\cdot1\cdot2)\frac{3!}{1!\cdot1!\cdot1!} = 24
$$

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