倒置晶格（Reciprocal lattice）
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晶格空間（lattice）是一個數學模型，用以描述理想結晶排列的度量空間，

從而忽略原子核、電子軌域...這些實際的物理條件、因素的資訊。

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結晶材料中的原子分佈於空間中，

可以用一個向量 $\vec{R}$ 來描述原子的座標，這個空間我們稱為真實空間（real space），

若對該向量進行傅立葉轉換，會得到另外一個向量 $\vec{G}$，

可以理解成，原子的座標從真實空間映射（mapping）到倒置空間（q-space）。

$\vec{R} = n_1 \vec{a_1} + n_2 \vec{a_2} + n_3\vec{a_3}$
$\vec{G} = h \vec{b_1} + k \vec{b_2} + l\vec{b_3}$
$\vec{R} := \text{原子在晶格空間中的位置}$
$\vec{G} := \text{原子在倒置空間中的位置}$

根據傅立葉轉換，可以導出：
$$
e^{i\vec{R} \cdot \vec{G} } = 1
$$

從歐拉公式 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ ，可以繼續導出：
$$
\vec{R} \cdot \vec{G} = 2n\pi , n \in \Bbb Z
$$

因為某些原因^[待查證]，把1帶入n以簡化公式，

繼續整理，分離各個倒置空間單位向量對應真實空間單位向量的映射關係：
$$
\vec{b_1} = 2\pi \frac{ \vec{a_2} \times \vec{a_3} }{ \vec{a_1} \cdot ( \vec{a_2} \times \vec{a_3} ) }
$$
$$
\vec{b_2} = 2\pi \frac{ \vec{a_3} \times \vec{a_1} }{ \vec{a_2} \cdot ( \vec{a_3} \times \vec{a_1} ) }
$$
$$
\vec{b_3} = 2\pi \frac{ \vec{a_1} \times \vec{a_2} }{ \vec{a_3} \cdot ( \vec{a_1} \times \vec{a_2} ) }
$$

其中分母的部份剛好是一個[純量三角積](#純量三角積)，
若經過化簡可以得到 $\frac{2\pi}{d} \hat v$ 之類的東西，
因為真實空間的平面間距在傅立葉轉換的空間中，
以倒數的方式存在，因此該空間也被稱作「倒置晶格」（Reciprocal lattice）。

精簡化的寫法：
$$
\left[
\mathbf {b} _{1}\mathbf {b} _{2}\mathbf {b} _{3}
\right]^{\mathsf {T}}
=2\pi
\left[
\mathbf {a} _{1}\mathbf {a} _{2}\mathbf {a} _{3}
\right]^{-1}
$$


> 我們可以發現晶格空間每一個點描述的是原子的位置；
> 而倒置空間每一個點描述的是某個平面。

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部份教材進行空間轉換的定義不是使用傅立葉轉換，如：
$$
\mathbf b_1 = \frac{\vec a_2 \times \vec a_3}{V}
$$
其結果在向量的方向上是等價的，但是會與傅立葉轉換的定義相差 $2\pi$ 倍。

### 純量三角積（scalar triple product）
定義

$$
f(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \vec{a} \cdot ( \vec{b} \times \vec{c})
$$

若$\vec a, \vec b, \vec c$三組向量能夠在空間中形成一個六面體，
則成對的平面（上下、左右、前後）相互平行。

其中 $\vec{b} \times \vec{c}$ 我們都知道可以視作$k\vec p$，
$k$是$\vec b , \vec c$兩向量構成平面的面積，而$\vec p$則可以表示該平面的方向，
因此整個純量三角積可以整理成：$k(\vec a \cdot \vec p)$，
其中 $\vec a \cdot \vec p$ 便是平面間距。

計算過程能夠以矩陣的方式表示：

$$
\vec{a} \cdot (\vec {b} \times \vec {c} )
=\det {
\begin{bmatrix}
a_{1}&a_{2}&a_{3}\\
b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\
\end{bmatrix}
}
=\det(\vec {a} ,\vec {b} ,\vec {c})
$$

### Reference
https://en.wikipedia.org/wiki/Reciprocal_lattice

https://www.bruker.com/fileadmin/user_upload/8-PDF-Docs/X-rayDiffraction_ElementalAnalysis/XRD/Webinars/BAXS_Webinar_GDP_V_-_HRXRD2_-_Reciprocal_Space_Mapping_20120126.pdf

https://www.bruker.com/fileadmin/user_upload/webinars/XRD/presentations/BAXS_Webinar_GDP_V_-_HRXRD2_-_Reciprocal_Space_Mapping_20120126.pdf

https://en.wikipedia.org/wiki/Triple_product#Scalar_triple_product

http://www.physics.nptu.edu.tw/ezfiles/116/1116/attach/85/pta_23947_3124236_13357.ppt

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