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title: 一場猜拳實驗引發的時空旅行（誤
tags: [learning note, '2020-10-06']

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一場猜拳實驗引發的時空旅行（誤
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前言
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最近在 FB 看到一篇貼文，在講述貧富差距就像 Maxwell–Boltzmann distribution 是自然產生的。[^facebook]

不過他不能給出公式並給出每個參數對應的影響，這對我而言不夠嚴謹，過早的下結論可能有問題。但是我要承認，還沒點進去之前，看到命題與曲線的第一個反應確實是想到 Maxwell–Boltzmann distribution，畢竟命名假設金錢守恆（能量守恆）、猜拳（粒子碰撞），跟該模型確實有幾分神似，並且我大學做報告的時候曾經引用過下面這張動畫，所以對曲線的趨勢有點印象。

![](http://highscope.ch.ntu.edu.tw/wordpress/wp-content/uploads/2014/12/Fig-3-KinetcTheoryOfGases-Composite-Videos.gif)

**老實說我不在乎這個命題到底符不符合現實，我在意的是如何解釋猜拳遊戲的結果。**`(((°A° ≡ °Д°)))`

命題
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首先讓我來看看命題：

![https://onedrive.live.com/view.aspx?resid=CBFF5A71EA6FC91A!22293&ithint=file%2cpptx&authkey=!AOzyBQOwUjEUGFo](https://i.imgur.com/bFWHSPQ.png)

為了不要讓資料有這麼多的 "0"，於是我稍微修改了一點參數：

- 初始值為 1000
- 每次交流量為 10

接著我寫了幾行程式跑跑看它的命題。

```javascript=
for (let i = 0; i < 100000000; i++) {
    let x = Math.floor(Math.random() * 1000),
        y = Math.floor(Math.random() * 1000);
    let w = Math.floor(Math.random() * 100);

    if (array[x] >= 10) {
      array[x] -= 10;
      array[y] += 10;
    }
}
```

跑出的結果如下，左圖是排序後每人資產值，右圖是分佈：

![](https://i.imgur.com/0RRo0kC.png)

恩？怎麼沒使用決定猜拳輸贏的變數 `w` ？因為隨機抽出兩者，這個行為本身就自帶 50% 機率的輸贏了，總之這程式運作看起來沒問題。

### 簡化命題

先讓我們移除「金錢守恆」這個約束條件：

```javascript=
for (let i = 0; i < 100000000; i++) {
    let x = Math.floor(Math.random() * 1000);
    let z = Math.floor(Math.random() * 100);

    array[x] += (z >= 50) ? 10 : -10;
    if (array[x] < 0) {
        array[x] = 0;
    }
}
```

恩...「貧富差距」的情況好像比起前者緩和了點，不過趨勢大致符合，而且分佈似乎更符合文中提到的「真實世界」財富分佈呢？ [^power-point] `ლ(́°Д°ლ)`

![](https://i.imgur.com/tEldGDy.png)

仔細觀察就可以發現，這個簡化過得命題的本質是一個伯努利過程：

- 成功獲得錢
- 失敗失去錢

伯努利過程
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既然命題的本質是一堆伯努利試驗，那麼它的分佈應該就可以用二項式分佈近似常態分佈來描述，不過在那之前先讓我們跑跑幾個模型並觀察它們。

### 伯努利過程

左圖是每人成功次數一覽，右圖是分佈 0~1 分別代表 1000 人之中的最小值與最大值。

![](https://i.imgur.com/hhv8S5T.png)

變數：

- 人數：1,000
- 平均每人試驗數：100,000

### 伯努利過程，但是失敗會扣分

同樣是伯努利過程，但是不是紀錄成功次數，而是採積分制，並且失敗了會扣分。

左圖是每人的點數一覽，右圖是分佈 0~1 分別代表 1000 人中積分的最小值與最大值。

![](https://i.imgur.com/1PenIG0.png)

變數：

- 人數：1,000
- 平均每人試驗數：100,0000
- 初始積分: 0
- 每次積分增減額: 1

### 伯努利過程，但是會破產

同樣是積分制的白努力過程，只是積分歸零時不會繼續扣分，也就是破產。

![](https://i.imgur.com/gFStP5R.png)

變數：

- 人數：1,000
- 平均每人試驗數：100,0000
- 初始積分: 0
- 每次積分增減額: 1

### 伯努利過程，但是會破產

基本上前者已經十分接近簡化後的命題（不考慮金錢守恆），但是沒有辦法使用數學模型處理，於是我想了一個模型，先來看看它是不是表現的跟會破產的伯努利過程差不多：

![](https://i.imgur.com/AwfHmB4.png)

確認一下分佈模式：

![](https://i.imgur.com/WB9auma.png)

恩...感覺差不多...?

伯努利過程，~~但是時光旅行~~
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### 若不考慮破產...

讓我們回憶一下那個沒有破產的美好世界（？）

![](https://i.imgur.com/aYg0Crf.png)

可以發現它其實遵守常態分佈，而這個常態分佈可以用隨機漫步的公式描述[^random_walks]：

$$
p(x) = p_\mathcal{N}(0,n)
$$

其中 $n$ 為實驗次數。

### 『當局不承認資產為負』

接著我們來進行一個空想實驗，
首先我們看看不考慮破產，實驗結束時的積分一覽：

![](https://i.imgur.com/1VBIW1K.png)

可是命題不准許積分為負，於是出現了一個 G-man 對著那些積分為負的人說道：「當局」不承認資產為負的結果，於是我們要把你們回朔回實驗進行到一半的時間點，並且統計上來說，你們的平均積分為 0，所以不論當時實際上的積分為多少，我都把你們的積分歸零。

![](https://i.imgur.com/6xJzzHa.png)

接著這群人便繼續跑完剩下的試驗：

![](https://i.imgur.com/gjSVMDW.png)

然後 G-man 又出現了，並對著那些負積分的人說道....

...

如此重複，直到沒有負積分的人出現。最後實驗完成了，「當局」透過無數次時間回朔，掩蓋了負積分發生過得事實。

### 分佈

根據空想實驗，我們知道了實驗的分佈其實就是這個一覽的分佈：

![](https://i.imgur.com/WzMAufH.png)

所以分佈應該會是一堆被截斷的常態分佈組成的：

![](https://i.imgur.com/PYrulbh.png)

寫成公式的話：

$$
p(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac1{2^i} \cdot p_\mathcal{N}(0,\frac{n}{2^i}) \Bigg| _{0 \le x}
$$

### 所以答案勒？

![](https://i.imgur.com/XMRyPL4.png)

老實說還是有點不匹配...在高積分的時候會低估，低積分的分佈則是會高估...最後做出來的模型不能很好的匹配實驗結果...更別提實驗還是簡化過得版本。

把資料產生趨勢線轉成函數後再跟模型進行比較之後，根據誤差值計算評估模型準確性的指標，不是很理想`_(:3」∠)_`：

| 指標  | 值    |
| ----- | ----- |
| MAE%  | 47.8% |
| RMSE% | 79.2% |

但是做這個題目的過程中，有查一篇文章把它建模成隨機漫步並且給出了好像蠻準確的解析解，有興趣的人可以參考看看：[^post]

$$
f(q)=-\mu \log \left(1-\frac{q}{\text{N}}\right)
$$

- $f(q)$: 排序 $q$ 的資金期望值
- $\mu$: 起始資金
- $N$: 人數

工具
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- LibreOffic Calc
- Gnumeric
- 自己寫的程式 [^program]

試算表和實驗資料我就沒放上來了，有原始碼的話基本上能夠複製實驗，而內文有些比較簡陋的圖形是當時隨手寫的程式跑出來的資料再倒入試算表做視覺化，並沒有收錄在 repository 內。

[^facebook]: 《一堂物理課，了解貧富差距的根源》. (Liou YanTing). Retrieved 2020-10-11, from https://www.facebook.com/permalink.php?story_fbid=3403616276360627&id=100001368650813

[^power-point]: Retrieved 2020-10-11, from  https://onedrive.live.com/view.aspx?resid=CBFF5A71EA6FC91A!22293&ithint=file%2cpptx&authkey=!AOzyBQOwUjEUGFo

[^random_walks]: Chapter 7: Random walks | Mathematical Preparation for Finance. (Kaisa Taipale). Retrieved 2020-10-11, from https://www.softcover.io/read/bf34ea25/math_for_finance/random_walks

[^post]: 房间内有 100 人，每人有 100 块，每分钟随机给另一个人 1 块，最后这个房间内的财富分布怎样？ - 知乎, Retrieved 2020-10-11, from https://www.zhihu.com/question/62250384/answer/256130999

[^program]: Retrieved 2020-10-11, from https://github.com/FlySkyPie/time-travel-caused-by-finger-guessing-experiment


###### tags: `learning note` `2020-10-06`