# L4 碰撞

## 彈性碰撞&&非彈性碰撞&&非完全彈性碰撞

* 碰撞前後動量守恆 $m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'$
* 差別與相同

| **差別 \ 碰撞類型** | 動量 | 動能 | 質心速度| 總能量| 例子 |
| --- | --- | ---- | ---- | ---- | --- |
| 彈性 | 守恆 | 守恆 | 守恆(因為動量守恆) | 守恆 | 微觀下的電子,質子等 |
| 非彈性 | 守恆 | 非守恆 | 守恆(因為動量守恆) | 守恆 | 巨觀下的碰撞 |
| 完全非彈性 |守恆 | 非守恆 | 守恆(因為動量守恆) | 守恆 | 碰撞後兩質點在一起 |

系統質心速度 = $v_{cm}=\cfrac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$ 。

## 非彈性碰撞
由動量守恆得 $v_1m_1+v_2m_2=v_1'm_1+v_2'm_2$。
又因動量守恆可得系統質心速度守恆。

## 彈性碰撞與動能守恆(僅在彈性碰撞)

彈性碰撞時動能與動量守恆 得 :
> 1. 動量守恆得 $m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2' \rightarrow m_1(v_1-v_1')=m_2(v_2'-v_2)$
> 2. $\cfrac{1}{2}m_1{v_1}^2+\cfrac{1}{2}m_2{v_2}^2=\cfrac{1}{2}m_1{v_1'}^2+\cfrac{1}{2}m_2{v_2'}^2$
> $\rightarrow m_1{v_1}^2+m_2{v_2}^2=m_1{v_1'}^2+m_2{v_2'}^2$
> $\rightarrow m_1({v_1}^2-{v_1'}^2)=m_2({v_2'}^2-{v_2}^2)$
> $\rightarrow m_1(v_1+v_1')(v_1-v_1')=m_2(v_2+v_2')(v_2'-v_2)$
> 3. $(2)$ 左右同除 $(1)$ 得 $v_1+v_1'=v_2+v_2'\rightarrow$ 發現到性質 ==兩質心彈性碰撞前後的速度差固定==
>4. 把 $(3)$ 帶入 $(1)$ 得
>$m_1v_1+m_2v_2=m_1(v_2'+v_2−v_1)+m2v2'$
>$\rightarrow m_1v_1+m_2v_2=m_1v_2'+m_1(v_2−v_1)+m_2v_2'$
>$\rightarrow v_1’ = \cfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_1 + \cfrac{2m_2}{m_1 + m_2} v_2$
>$\rightarrow v_1’ = v_1 + \cfrac{2m_2}{m_1 + m_2}(v_2 - v_1)$

==彈性碰撞的特殊情況== :
$m1=m2$

補充：碰撞係數 $e=\cfrac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2}$

* $e=1$：完全彈性碰撞（如理想彈力球），總動能守恆
* $0<e <1$：部分彈性碰撞（常見於日常生活中的碰撞）
* $e=0$ ：完全非彈性碰撞（物體碰撞後黏在一起）

## 完全非彈性碰撞
特點 :
> 兩物體碰撞後速度相同，可以理解成合在一起。
> 由於須保持動量守恆，可以推出兩物體碰撞後的速度 $=$ 質心速度。($v'=\cfrac{總動量}{總質量}$)
> 損失的動能轉成其他能量 $e.g.$ 熱能。

# 題目區
註： 不是所有題目，僅我認為必要或較難或混和其他觀念的。

## 4-1 答案
### P162
1. $(1)$ $0.7$
$(2)$ $4, 4$
$(3)$ $否$
### P163
3. $C$
4. $A$
5. $C$
## 4-1 題解
### P162
1.
$(1)$
> 由碰撞中動量守恆得 $m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'\rightarrow30+(-10)=6+2x$
> 得 $x=7$

$(2)$
>質心速度$=\cfrac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}=\cfrac{30+(-10)}{3+2}=4$，由於碰撞前後質心速度相同所以碰撞後還是 4$\text{m/s}$。

$(3)$
>由彈性碰撞動能需守恆檢查 :
>碰撞前: $\cfrac{1}{2}3\times100+\cfrac{1}{2}2\times25=175$
>碰撞後: $\cfrac{1}{2}3\times4+\cfrac{1}{2}2\times49=55$
>$175\neq55\rightarrow$ 碰撞前後動能不守恆所以為非彈性碰撞。
### P163