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tags: Tronc Commun, 2022, ASE3
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# ASE3 Cheat sheet - Analyse en composantes principales

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**Rappels utiles :**
1. *Multiplication de matrice*
- La matrice résultante doit être : $A_{n*m} * B_{m*p} => C_{n*p}$
- Trois propriétés importantes :
- $AB \neq BA$
- $I_nA = AI_n = A$
- Si $A$ et $B$ sont carrées de taille $n$, alors
$AB = I_n => BA = I_n$ et $B = A^{-1}$ (inverse de $A$)
2. *Calcul de la trace*
- Somme des termes de la diagonale d'une matrice carrée
- Notée sous la forme $Tr(A)$ ou $Trace(A)$
3. *Représentation par transposition*
- Échange des lignes et des colonnes d'une matrice
- Notée sous la forme $A'$ ou $A^T$
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## Matrice des poids $p_i$
Nous associons à chaque individu un poids $p_i\ge0$ qui correspond à la probabilité de choisir un individu. La somme des poids de la matrice est égale à 1.
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**Formule :**
$$ \sum_{i=1}^np_i = p_1 + p_2 + p_3 + ... = 1 $$
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$$D=
\begin{pmatrix}
p_1 & 0 & \dots & 0 \\
0 & p_2 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & p_n \\
\end{pmatrix}
$$

**Cas uniforme :** Si tous les individus ont le même poids, alors $p_i=\frac{1}{n}\Rightarrow D=\frac{1}{n}I_n$, où $I_n$ est la matrice identité.

## Moyenne des variables $\bar X^{(j)}$ et centre de gravité $g$
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**Définition :** La moyenne d'une colonne $\bar X^{(j)}$ (avec $j$ le numéro de colonne et $j\in [1,p]$) s'obtient en additionant chaque valeur de colonne et en multipliant l'ensemble par son poids $p_i$ :

$$ \bar X^{(j)}=\sum_{i=j}^nP_iX_i^{(j)}
$$
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:::info
**Définition :** Le centre de gravité, représenté par le vecteur $g$ des moyennes arithmétiques de chaque variable $X^{(j)}$, est définit par $g=(\bar X^{(1)},\bar X^{(2)},\dots,\bar X^{(j)})$.
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## Matrice des données centrées $Y$
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**Définition :** La matrice $Y$ s'obtient en soustrayant chaque moyenne $\bar X^{(j)}$ de la matrice initiale $X$, c'est-à-dire :
$$ Y_i^{(j)}=X_i^{(j)}-\bar X^{(j)}\quad,\forall j\in[1,p], \forall i\in[1, n]
$$
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## Matrice de variance-covariance $V$
**Définition :** La matrice de variance-covariance $V$ (ou *var-covariance*) est une matrice carrée de dimension *p* représentée sous la forme suivante :

$$V=
\begin{pmatrix}
\sigma_1^2 & \sigma_{1,2} & \dots & \sigma_{1,p} \\
\sigma_{2,1} & \sigma_{2,2} & \dots & \sigma_{2,p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\sigma_{p,1} & \sigma_{p,2} & \dots & \sigma_p^2 \\
\end{pmatrix}
$$

:::info
**Formule :** Cette matrice s'obtient avec la formule
$$V=Y^T*D*Y
$$
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**Symétrie :** La matrice $V$ est symétrique, donc $V^T = V$.

## Diagonalisation d'une matrice
**Rappel :** Soit une matrice $A$, diagonaliser cette matrice revient à chercher une matrice diagonale $D$ ainsi qu’une matrice inversible $P$ telle que :
$$A = P*D*P^{-1}
$$

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Dans le cours d'ASE3, diagonaliser revient à calculer les valeurs propres de la matrice afin d'en déterminer par la suite ses composantes et facteurs principaux.
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### Valeurs propres
**Définition (rappel) :** Soit une matrice $A$, on appelle polynôme caractéristique de $A$, noté en général $P_A$, le polynôme défini par
$$P_A(\lambda) = det(A - \lambda I_n)$$
En calculant ce polynôme, nous pouvons trouver les **valeurs propres** de la matrice $A$.

### Pourcentage d'inertie
**Définition :** L'inertie totale mesure l'étalement du nuage de points d'une matrice. L'inertie de l'axe $\alpha$ est calculée divisant sa valeur propre $\lambda_\alpha$ par la somme des valeurs propres des différents axes.
:::info
**Formule :**
$$\text{Inertie de l'axe }\alpha = \frac{\lambda_\alpha}{ \sum_1^n \lambda_n\ }
$$
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:Warning: La résultat doit être présenté sous forme de pourcentage.

### Facteurs principaux
**Définition :** Les facteurs principaux sont les vecteurs propres associés aux plus grandes valeurs propres.
:::info
**Formule :**
Pour trouver les vecteurs propres de $V$, nous posons $E(\lambda_\alpha) = Ker(V - \lambda_\alpha I_n)$
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:::danger
**Méthode :**
$$\forall u = \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \in E(\lambda_\alpha) <=> (V - \lambda_\alpha I_n) \begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} = \overrightarrow{0}
$$

Après calcul par intégration linéaire, on trouve :
$$E(\lambda_\alpha) = Vect(\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta \\
\gamma
\end{pmatrix})
$$
(où $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont les solutions de l'équation linéaire trouvée pour $i$).

Pour calculer $u$, on pose :
$$u^{(i)} = \frac{1}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2}}\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta \\
\gamma
\end{pmatrix}
$$
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**Remarque :** $E(\lambda_\alpha)$ est une droite vectorielle et $u$ est normé.

### Composantes principales
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La composante principale $C$ est définie par :
$$C^{(i)} = Y * u^{(i)}
$$
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**Remarque :** Les composantes principales contiennent les projections d'individus sur les axes factoriels.

### Coefficients de corrélation linéaire

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**Définition :** La méthode la plus naturelle pour donner une signification à une composante principale $C^{(i)}$ est de la relier aux variables $X^{(j)}$ (variables intiales) en calculant les coefficients de corrélation linéaire :

$$ p(X^{(j)}, C^{(i)}) $$
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:::info
**Formule :**
$$ p(X^{(j)}, C^{(i)})=\frac{Cov(X^{(j)}, C^{(i)})}{\sigma_{X^{(j)}}\sigma_{C^{(i)}}} $$
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**Remarque :**
$$ Cov(X^{(j)}, C^{(i)}) = <y^{(j)}, C^{(i)}>
$$
où $y^{(j)}$ est une variable centrée.