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title: 3.6 Polinomio de Taylor

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# 3.6 Polinomio de Taylor

buscar Ejemplo de una aproximación a una solución

md"""
Tenemos en la descripción de un problema que la relación entre a y b es que b depende de a con la siguiente función
b=f(a). Nuestra tarea es encontrar el valor de a para el cual b supera B cuando se empieza en A0. 

El problema es que f es una función que es complicada de calcular e incluso tarda al ser computada con una pc moderna
"""
plot(f)

md"""
Supongamos que el punto inicial es A0=0 (cerca de ese punto la grafica es bastante lineal). ¿Si nos enfocamos o hacemos zoom alrededor de ese punto, que caracteristica tiene la gráfica?
"""
plot(f, A0-e, A0+e)
md"
Exacto, es prácticamente una recta."


md"""¿Cual es la recta que se parece mas al gráfico de f?
$(@bind k Slider(0.1:0.05:1,show_value=true))
$(@bind x0 Slider(A0-e:e/20:A0+e,show_value=true))
"""


begin
plot(f, A0-e,A0+e)
plot!(x->k*x+x0*,-e,+e)
end

pregunta("")

md"¿Que pasa si ahora nos importa A1 (donde haya una U)"

begin
plot(f,a1-e1,a1+e1)
plot!(x^2,...)
end

md"Como pueden ver podemos obtener una función muy similar en un rango y que sea mucho más fácil de calcular"

md"
Paren un segundo y traten de interpretar que significan los parámetros que modificaron para encontrar la  función que mejor aproxima el gráfico de f en un entorno a un punto"

md"reloj|boton->listo?"

md"Ahora intenten encontrar los valores pero con las. funciones escritas asi"

md"""
$(e0_sl)
$(@bind k0 )
$(@bind x0 )
$(@bind k1 )
"""

begin
plot(f,a0-e0,a0+e0)
plot(x->k0*(x-x0)+k0,a0-e0,a0+e0)
end

md"Y lo mismo para A1"

begin 
plot
plot!
end

md"""
Ahora, ¿que intuición podemos tener de los nuevos coeficientes?
"""

md"""
Quizas piensen lo siguiente: todo este proceso de estar moviendo los sliders es bastante engorroso y toma tiempo. Y deberían preguntarse lo siguiente: ¿hay alguna forma de calcular los coeficientes usando f?
"""

md"""
Lamento decirles que no :(, pero si tenemos las derivadas podemos hacerlo
"""

Dada una función como podemos describirla en un entorno cercano a un punto