# 1.3. Características de funciones

## Clasificación de funciones (según?)

### Definiciones informales:

¿Se puede invertir toda función? La función $x^2$, por ejemplo, es invertible?

(plot de $x^2$ y de $x^2$ "invertido")

¿Qué problema tiene esto? Podemos ver que las funciones van a requerir un par de características para poder invertirse.

- Inyectiva = no repite valores.
- Se cumple: exponencial. Para cada $x$ hay un $y$ distinto.
- No se cumplen: cuadráticas, por ejemplo. Tiro vertical: pasa por todos los puntos (salvo el máximo) dos veces. En el fondo es una cuadrática. Sección de la coordillera de los andes o del aconcagua.
- Sobreyectiva = Ocupa toda la imagen.
- Se cumple: $x^3 - 3x$. Ocupa toda la imagen, pero repite (no es inyectiva). Habrá algún ejemplo más intuitivo?
- No se cumple en las exponenciales, que es inyectiva.
- Biyectiva = todas las anteriores.
- Ejemplo típico: función lineal.

¿Por qué debe ser inyectiva una función para invertir? Porque si "invertimos" la gráfica de una función que repite valores, vamos a tener para un mismo x, varios y. Y eso no cumple con la definción de función que vimos en el primer apunte. Es decir, no cumple con el requisito de **unicidad**.

¿Por qué debe ser sobreyectiva una función para ser invertible? Porque si no lo es, al invertir, nos encontraremos con que hay muchos x para los cuales no existe un y. No cumple con el requisito de **existencia**.

### Invirtiendo lo no-invertible

A veces nos interesa invertir funciones que no biyectivas.

Disclaimer: No intente esto en casa

Por ejemplo a la cuadrática que mencionamos antes, no es inyectiva ni sobreyectiva.

Primero arreglemos la inyectividad. El problema, como habíamos visto, es que tenemos valores repetidos. Nosotros podemos separar el gráfico en los x negativos y positivos, y vemos que viendo cada mitad de forma aislada, no se repiten más valores.

(gráfico)

Lo que podemos hacer, entonces, es quedarnos con una de estas mitades, e invertir.

(cuentas)

Esto entonces, graficando, nos queda así:

(gráfico de la raíz)

Podemos ver dos cosas:
- Por un lado quedó solucionado el tema de la inyectividad. Este gráfico es "la mitad" del gráfico de la cuadrática rotada que vimos al principio.
- Por el otro, tenemos el problema de que no podemos aplicar la función a los números negativos. Esto es una consecuencia de que la cuadrática no era tampoco sobreyectiva. Lo que decimos entonces, para evitar este problema, es básicamente que nuestra función la definiremos sobre los reales positivos, en lugar de sobre los reales.

(ecuación de la función con el dominio redefinido)

## A revisar: inversas de las funciones básicas? Ejemplos?

Lineal tiene que estar.

## Funciones acotadas, máximos y mínimos

- Máximos/Mínimos globales. Ejemplos como la cuadrática.
- Funciones acotadas superior/inferiormente: exponenciales, cuadráticas, parte derecha o izquierda de una 1/x.
- Funciones acotadas: tienen máximo y mínimo global. Ejemplo trigonométricas.
- Mínimos o máximos locales: cúbica.

Definiciones con entornos, etc.

## Monótona creciente y decreciente.

Ejemplos:
- Lineal.
- Cuadrática.
- La vida media de un proceso radiactivo.
- La pila de un reloj (no es estricta mientras el reloj está apagado).

Estrictas:
- Lineal, logarítmica, 1/x.

Consecuencias:
- Monótonas estrictas SON INYECTIVAS. Esto es importante para la invertibilidad. Además, si no están acotadas superior o inferiormente, como 1/x, son sobreyectivas, por lo tanto, biyectivas, por lo tanto, invertibles.

Revisar correspondencia formal entre estos conceptos y la inyectividad/sobreyectividad.

## Bibliografía y recursos

Algunos links de perfiles de montañas:
- https://www.researchgate.net/figure/Cross-section-of-the-Central-Andes-showing-the-major-environmental-zones-according-to_fig2_226747201
- https://www.researchgate.net/figure/Schematic-cross-section-of-the-central-Andes-modified-from-Sanchez-2008Fig-25_fig2_317241308
- https://www.researchgate.net/profile/M_Lenzano/publication/262622901/figure/fig1/AS:398525616672775@1472027319518/Figura-1-Perfil-transversal-desde-la-costa-del-Oceano-pacifico-al-pie-de-monte-de-la.png