# 1.5 Sucesiones

- Sucesiones reales
- Algebra de Límites, teorema del sandwich (preguntar a Xapi si esto es de ellos)

Una **sucesion** se puede pensar como una lista de numeros escrita en un orden definido:

$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$

Otra deficinon puede ser:
Una sucesion es una funcion $a: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$, que se escribe $a(n)=a_n$
Veamos un ejemplo de sucesion:
sea la sucesion $a_n = \frac{3^{^{n-3}}}{n^{2}}$

El primer término se obtiene reemplazando en la fórmula $a_n$, la variable $n$ por el valor ${\color{Red} n}{\color{Red} =}{\color{Red} 1}$

$a_{\color{Red} 1}=\frac{3^{^{{\color{Red} 1}-3}}}{{\color{Red} 1}^{2}}=3^{-2}=\frac{1}{9}$

Los siguientes términos se obtienen reemplazando la variable $n$ por lo valores $2, 3, 4$ y $5$ respectivamente.

$a_{\color{Red} 2}=\frac{3^{^{{\color{Red} 2}-3}}}{{\color{Red} 2}^{2}}=\frac{3^{-1}}{4}=\frac{1}{12}$

$a_{\color{Red} 3}=\frac{3^{^{{\color{Red} 3}-3}}}{{\color{Red} 3}^{2}}=\frac{3^{0}}{9}=\frac{1}{9}$

$a_{\color{Red} 4}=\frac{3^{^{{\color{Red} 4}-3}}}{{\color{Red} 4}^{2}}=\frac{3}{16}$

$a_{\color{Red} 5}=\frac{3^{^{{\color{Red} 5}-3}}}{{\color{Red} 5}^{2}}=\frac{3^{2}}{25}=\frac{9}{25}$

De la misma forma, se obtiene el décimo término de la sucesión evaluando su fórmula con el valor ${\color{Red} n}{\color{Red} =}{\color{Red} 1}{\color{Red} 0}$

$a_{{\color{Red} 1}{\color{Red} 0}}=\frac{3^{{\color{Red} 1}{\color{Red} 0}-3}}{{{\color{Red} 1}{\color{Red} 0}}^{2}}=\frac{3^{7}}{100}=21,87$

#### Leyes de los límites para sucesiones
Si {$a_n$} y {$b_n$} son sucesiones convergentes y $c$ es una constante, entonces

$\lim_{n\rightarrow \infty} (a_n + b_n) =\lim_{n\rightarrow \infty} a_n + \lim_{n\rightarrow \infty} b_n$

$\lim_{n\rightarrow \infty} (a_n - b_n) =\lim_{n\rightarrow \infty} a_n - \lim_{n\rightarrow \infty} b_n$

$\lim_{n\rightarrow \infty} ca_n =c \lim_{n\rightarrow \infty} a_n$----------------- $\lim_{n\rightarrow \infty} c = c$

$\lim_{n\rightarrow \infty} (a_n\cdot b_n) = \lim_{n\rightarrow \infty} a_n \cdot \lim_{n\rightarrow \infty} b_n$

$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n\rightarrow \infty} a_n}{\lim_{n\rightarrow \infty} b_n}$ -------------------------------si $\lim_{n\rightarrow \infty} b_n\neq 0$

$\lim_{n\rightarrow \infty} a_{n}^{p}=[\lim_{n\rightarrow \infty} a_n]^p$ --------------------------si $p>0$ y $a_n>0$

#### Propiedad del Sandwich
Si dos sucesiones convergen a un mismo límite $L$, entonces cualquier sucesión comprendida entre ambas, también converge a $L$.

Si $b_n<a_n<c_n$ entonces

$\lim_{n\rightarrow \infty} b_n\leq \lim_{n\rightarrow \infty} a_n\leq \lim_{n\rightarrow \infty} c_n$

**Ejemplo:** Calcular el $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{cos(n)}{\sqrt{n}}$

El coseno es una función que toma valores entre $-1$ y $1$. Entonces vale

$-1\leq cos(n)\leq 1$
multiplico cada término por $\frac{1}{\sqrt{n}}$:

$\frac{-1}{\sqrt{n}}\leq \frac{cos(n)}{\sqrt{n}}\leq \frac{1}{\sqrt{n}}$

Ahora bien: $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{-1}{\sqrt{n}} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0$

$0 \leq \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{cos(n)}{\sqrt{n}} \leq 0$

Por lo tanto la única solución es $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{cos(n)}{\sqrt{n}}=0$

**--------------------GRAFICO---------------------**

#### Sándwich en el infinito
La propiedad del sándwich se puede generalizar de la siguiente forma.

Si $a_n > b_n$ y $b_n \rightarrow +∞$ entonces $a_n \rightarrow +∞$

**Ejemplo:** Calcular el $\lim_{n\rightarrow ∞} a_n$ sabiendo que $a_n > \frac{3n^{2}+1}{100n + 5}$ para todo $n.$

Calculamos el $\lim_{n\rightarrow ∞} \frac{3n^{2}+1}{100n + 5}.$ Para ello dividimos por $n$ al numerador y denominador:

$\lim_{n\rightarrow ∞} \frac{3n^{2}+1}{100n + 5} = $\lim_{n\rightarrow ∞} \frac{3n+ \frac{1}{n}}{100 + \frac{5}{n}}=+∞$
Entonces:

$\lim_{n\rightarrow ∞} a_n = +∞$

#### Sucesiones monótonas

Las sucesiones son funciones que tienen por dominio a los números naturales. Estudiaremos aquellas sucesiones que son funciones crecientes o decrecientes de sus variable natural. Es decir:

$a_{n+1}\leq a_n$ para (casi) todo $n$. En tal caso será **decreciente**

$a_{n+1}\geq a_n$ para (casi) todo $n$. En tal caso será **creciente**.

En ambos casos decimos que se trata de una **sucesión monótona**.

La importancia de las sucesiones monótonas radica en que siempre tienen límite, ya sea éste finito o infinito. Antes de enunciar con precisión este resultado, hacemos una observación que será de utilidad en lo que sigue.

Si la sucesión es de términos positivos se tiene que:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq 1$ equivale a $a_n$ decreciente.

$\frac{a_{n+1}}{a_n} \geq 1$ equivale a $a_n$ creciente.

#### Convergencia de sucesiones
La sucesión {$r^{n}$} es convergente si $-1 < r\leq 1$ y divergente para todos los otros valores de $r$.
$\lim_{n\rightarrow\infty} =\begin{cases}
& 0 \text{ si -1< r< 1 }\\
& 1 \text{ si } r=1
\end{cases}$

### Sucesiones dadas en forma recurrente
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Hasta ahora hemos tratado cada sucesión por medio de su término general.

Sin embargo, en muchas situaciones vinculadas con las aplicaciones y procesos iterativos, las sucesiones se presentan en forma recurrente. Esto es, se define el primer término $a_1$, luego del mismo surge $a_2$ y en general, se define $a_{n+1}$ a partir del término anterior $a_n$ o más generalmente a partir de todos los términos anteriores.

A estas sucesuines se las llama *sucesiones recurrentes* y requieren, muchas veces un tratamiento distinto al que le venimos dando a las sucesiones.

----------- (BUSCAR UN EJEMPLO)
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----------- SUCESIÓN LOGISTICA

### Indeterminaciones
Supongamos que queremos calcular el siguiente límite:
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{sen(\frac{2}{n}))}{\frac{1}{n}}$

Si sustituimos $n$ por $\infty$ tenemos:

$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{sen(\frac{2}{n}))}{\frac{1}{n}}=\frac{sen(0)}{0}=\frac{0}{0}$

Obviamente, este resultado no tiene sentido matemáticamente.

Algo parecido ocurre en este límite:
$\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2}{\frac{1}{n}}=\frac{2}{0}=\infty$

Sin embargo, hay una diferencia sustancial entre ambos resultados: podemos asegurar el resultado de todos los límites en los que aparece $1/0$ es $∞$, pero no podemos predecir el resultado de los límites en los que aparece $0/0$.

Una **indeterminación** matemática es una expresión algebraica que aparece en el cálculo de los límites y cuyo resultado no se puede predecir.

Cuando aparece una indeterminación en un límite, el límite **depende de la propia función**. Esto conlleva que, aunque aparezca la misma indeterminación, el límite puede ser distinto para funciones distintas.

Entonces es necesario, en cada caso, aplicar alguna técnica algebraica que permita "salvar" la indeterminación y calcular el límite. $0/0$ no es el único tipo de indeeterminación con el que nos vamos a encontrar.

Por ejemplo, el producto de dos sucesiones, una de ellas que tienda a cero y la otra que tienda a infinito("cero por infinito" o "$0\cdot \infty$"), constituye también una indeeterminación. Analicemos los siguientes ejemplos:

$a_n=\frac{1}{n}\rightarrow 0$, $b_n=n\rightarrow \infty$ ---------------- $a_n\cdot b_n=\frac{1}{n}\cdot n\rightarrow 1$

$a_n=\frac{1}{n}\rightarrow 0$, $b_n=n^{2}\rightarrow \infty$ ----------------- $a_n\cdot b_n=\frac{1}{n}\cdot n^{2}\rightarrow \infty$

$a_n=\frac{1}{n^{2}}\rightarrow 0$, $b_n=n\rightarrow \infty$ --------------- $a_n\cdot b_n=\frac{1}{n^{2}}\cdot n=\frac{1}{n}\rightarrow 0$

En estos observamos que no existe una propiedad que pueda predecir sobre un límite del tipo "$0\cdot \infty$".

Los límites de los siguientes "tipos", aunque no son todos, constituyen indeterminaciones

"$\frac{\infty}{\infty}$"

"$0\cdot \infty$"

"$\infty ^{0}$

"$+\infty -\infty$"

"$\frac{0}{0}$"

"$0^{0}$"

En todos los casos, hay que entender estos simbolos como el límite de la operación aritmética indicada en cada caso, entre dos sucesiones.

Como vimos, el álgebra de límites requiere que las sucesiones involucradas sean convergentes a un número real. Cuando esto no ocurre, a veces se presentan *indeterminaciones*. En cada caso hay que usar algún recurso algebraico que permita salvar la indeterminación y calcular el valor del límite.

**Ejemplo:** Calcular el $\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+5}-\sqrt{n})$

En este caso no se puede aplicar el álgebra de límites, porque de un primer análisis surge $\sqrt{n}\rightarrow +\infty$ y $(\sqrt{n+5}-\sqrt{n}$ es de la forma "infinito menos infinito" que constituye una indeterminación en si misma.

Para salvar la indeterminación y poder calcular el límite, multiplicaremos por el conjugado de $(\sqrt{n+5}-\sqrt{n}$:

$\sqrt{n}(\sqrt{n+5}-\sqrt{n})= \sqrt{n}(\sqrt{n+5}-\sqrt{n}) \frac{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+5}-\sqrt{n}}$

*El producto por conjugado*
Cuando aparecen raices cuadradas es útil usar la siguiente identidad para eliminarlas
$(A-B)(A+B)=A^{2}-B^{2}$

Entonces:
$(\sqrt{n+5}-\sqrt{n})(\sqrt{n+5}+\sqrt{n})=(n+5-n)=5$

$\sqrt{n}(\sqrt{n+5}-\sqrt{n}) \frac{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+5}-\sqrt{n}}=\frac{5\sqrt{n}}{\sqrt{n+5}-\sqrt{n}}=$

#### Parecen pero NO
En ocasiones no es posible aplicar álgebra de límites porque los límites involucrados no son finitos, sin embargo no estamos ante una indeterminación. A continuación damos algunas situaciones donde se puede saber el límite a pesar de que los límites involucrados no sean todos números reales.

"$(+\infty)\cdot L= +\infty$" si $L>0$ ---------- Ejemplo: $\lim_{n\rightarrow \infty }\sqrt{n}(\frac{n}{3n+1})= +\infty$

"$(+\infty)+\infty=+\infty$" ---------- Ejemplo: $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n^{2}}{n+1}+\sqrt{n}=+\infty$

"$(+\infty)$ + $oscila$ $finitamente=+\infty$" ------- Ejemplo: $\lim_{n\rightarrow \infty }(n+cos(n))=+\infty$

"$\frac{0}{\infty}=0$" ---------------------------- Ejemplo: $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\frac{1}{n}}{n^{2}+1}=0$

"$(0)^{+\infty }=0$" ------------------------- Ejemplo: $\lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{n}{n^{2}+1})^{n}=0$

Cada una de estas afirmaciones se puede demostrar a partir de la función de límite. Haremos uso de ellas libremente.

### "Cero por acotado"
Si bien los límites del tipo "$0\cdot \infty$" resulta ser una indeterminación y, por lo tanto, nada podemos decir sobre el valor del kímite sin salvar tal indeterminación, si se puede decir algo cuando estamos en presencia de un producto de una sucesión que tiende a cero por otra que está acotada. En estos casos se obtiene una sucesión que tiende a cero. Es decir:

Si $a_n\rightarrow 0$ y $\left | b_n \right | \leq k$ entonces $a_n\cdot b_n\rightarrow 0$

**Ejemplo:** Calcular el $\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{n}{n+1} \right )(-1)^{n+1}$

La expresión $(-1)^{n+1}$ vale $1$ o $-1$ según la paridad de $n$. En particular está acotada: $\left | \left ( -1 \right )^{n+1} \right |\leq 1$. Por otra parte, $\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{n}{n+1} \right )=\lim_{n\rightarrow \infty }\left (\frac{n}{n+1} \right)=0$. Usando la propiedad "cero por acotado" se obtiene:

| $\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( 1-\frac{n}{n+1} \right )(-1)^{n+1}=0$ |
|:-------------------------------------------------------------------------:|

### Limite

Una sucesion ${a_n}$ tiene limite L si podemos hacer que los terminos de $a_n$ se aproximen a L tanto como se queira tomando un $n$ lo suficentemente grande. Esto se escribe:

$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = L$ o $a_n\rightarrow L$ cuando $n:n\rightarrow \infty$

Esto se lee " el limite de a sub n cuando n tiende a inficino es L"

Si el límite $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = L$ existe se deice que la sucesion **converge** y de lo contrario **diverge**

En el siguiente grafico vemos un ejemplo de cada una.
(hacer dos graficos ,uno al lado del otro)

Una version un poco más precisa es la siguiente:
Una sucesion ${a_n}$ tiene el limite $L$

$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = L$ o bien$a_n\rightarrow L$ cuando $n:n\rightarrow \infty$

si para todo $\varepsilon>0$ hay un correspondiente entero $N$ tal que
si $n>N$ entonces $\left |a_n -L \right | < \varepsilon$

Por ahi esta deficinion no es del todo clara asi que hagamos un grafico para ver de que se trata

(grafico mostrndo puntos y las rectas L, L-e y L+e)